Степени двойки, двоичные приставки и системы счисления

Таблица степеней двойки от 2⁰ до 2⁶⁴ в десятичной и шестнадцатеричной записи и отрицательных степеней 2⁻ⁿ. Двоичные и десятичные приставки (КиБ и КБ, МиБ и МБ), почему диск на 1 ТБ показывается как 931 ГБ, диапазоны целочисленных типов int8–int64, таблица шестнадцатеричных цифр и приёмы перевода между системами счисления.

Рекламный блок «после калькулятора» (ads/after-calc.html)

Степени двойки — основа вычислительной техники: n бит позволяют записать 2ⁿ различных значений, объёмы памяти кратны степеням двойки, а стойкость шифров и паролей измеряется в битах — двоичном логарифме числа вариантов перебора.

Степени двойки от 0 до 64

n	2ⁿ	В шестнадцатеричной	2⁻ⁿ
0	1	1	1
1	2	2	0,5
2	4	4	0,25
3	8	8	0,125
4	16	10	0,0625
5	32	20	0,03125
6	64	40	0,015625
7	128	80	0,0078125
8	256	100	0,00390625
9	512	200	0,001953125
10	1 024	400	0,0009765625
11	2 048	800	0,00048828125
12	4 096	1000	0,000244140625
13	8 192	2000	≈ 1,2207·10⁻⁴
14	16 384	4000	≈ 6,1035·10⁻⁵
15	32 768	8000	≈ 3,0518·10⁻⁵
16	65 536	10000	≈ 1,5259·10⁻⁵
17	131 072	20000	≈ 7,6294·10⁻⁶
18	262 144	40000	≈ 3,8147·10⁻⁶
19	524 288	80000	≈ 1,9073·10⁻⁶
20	1 048 576	100000	≈ 9,5367·10⁻⁷
21	2 097 152	200000	≈ 4,7684·10⁻⁷
22	4 194 304	400000	≈ 2,3842·10⁻⁷
23	8 388 608	800000	≈ 1,1921·10⁻⁷
24	16 777 216	1000000	≈ 5,9605·10⁻⁸
25	33 554 432	2000000	≈ 2,9802·10⁻⁸
26	67 108 864	4000000	≈ 1,4901·10⁻⁸
27	134 217 728	8000000	≈ 7,4506·10⁻⁹
28	268 435 456	10000000	≈ 3,7253·10⁻⁹
29	536 870 912	20000000	≈ 1,8626·10⁻⁹
30	1 073 741 824	40000000	≈ 9,3132·10⁻¹⁰
31	2 147 483 648	80000000	≈ 4,6566·10⁻¹⁰
32	4 294 967 296	100000000	≈ 2,3283·10⁻¹⁰
33	8 589 934 592	200000000	≈ 1,1642·10⁻¹⁰
34	17 179 869 184	400000000	≈ 5,8208·10⁻¹¹
35	34 359 738 368	800000000	≈ 2,9104·10⁻¹¹
36	68 719 476 736	1000000000	≈ 1,4552·10⁻¹¹
37	137 438 953 472	2000000000	≈ 7,2760·10⁻¹²
38	274 877 906 944	4000000000	≈ 3,6380·10⁻¹²
39	549 755 813 888	8000000000	≈ 1,8190·10⁻¹²
40	1 099 511 627 776	10000000000	≈ 9,0949·10⁻¹³
41	2 199 023 255 552	20000000000	≈ 4,5475·10⁻¹³
42	4 398 046 511 104	40000000000	≈ 2,2737·10⁻¹³
43	8 796 093 022 208	80000000000	≈ 1,1369·10⁻¹³
44	17 592 186 044 416	100000000000	≈ 5,6843·10⁻¹⁴
45	35 184 372 088 832	200000000000	≈ 2,8422·10⁻¹⁴
46	70 368 744 177 664	400000000000	≈ 1,4211·10⁻¹⁴
47	140 737 488 355 328	800000000000	≈ 7,1054·10⁻¹⁵
48	281 474 976 710 656	1000000000000	≈ 3,5527·10⁻¹⁵
49	562 949 953 421 312	2000000000000	≈ 1,7764·10⁻¹⁵
50	1 125 899 906 842 624	4000000000000	≈ 8,8818·10⁻¹⁶
51	2 251 799 813 685 248	8000000000000	≈ 4,4409·10⁻¹⁶
52	4 503 599 627 370 496	10000000000000	≈ 2,2204·10⁻¹⁶
53	9 007 199 254 740 992	20000000000000	≈ 1,1102·10⁻¹⁶
54	18 014 398 509 481 984	40000000000000	≈ 5,5511·10⁻¹⁷
55	36 028 797 018 963 968	80000000000000	≈ 2,7756·10⁻¹⁷
56	72 057 594 037 927 936	100000000000000	≈ 1,3878·10⁻¹⁷
57	144 115 188 075 855 872	200000000000000	≈ 6,9389·10⁻¹⁸
58	288 230 376 151 711 744	400000000000000	≈ 3,4694·10⁻¹⁸
59	576 460 752 303 423 488	800000000000000	≈ 1,7347·10⁻¹⁸
60	1 152 921 504 606 846 976	1000000000000000	≈ 8,6736·10⁻¹⁹
61	2 305 843 009 213 693 952	2000000000000000	≈ 4,3368·10⁻¹⁹
62	4 611 686 018 427 387 904	4000000000000000	≈ 2,1684·10⁻¹⁹
63	9 223 372 036 854 775 808	8000000000000000	≈ 1,0842·10⁻¹⁹
64	18 446 744 073 709 551 616	10000000000000000	≈ 5,4210·10⁻²⁰

Удобное приближение: 2¹⁰ = 1024 ≈ 10³, поэтому 2²⁰ ≈ миллион, 2³⁰ ≈ миллиард, 2⁴⁰ ≈ триллион. Например, 2³² ≈ 4·10⁹, а 2⁶⁴ ≈ 1,8·10¹⁹.

Рекламный блок «внутри статьи» (ads/in-article.html)

Двоичные и десятичные приставки

Десятичная приставка	Значение	Двоичная приставка (МЭК)	Значение	Разница
килобайт, кБ	10³	кибибайт, КиБ (KiB)	2¹⁰ = 1024	2,4 %
мегабайт, МБ	10⁶	мебибайт, МиБ (MiB)	2²⁰ = 1 048 576	4,9 %
гигабайт, ГБ	10⁹	гибибайт, ГиБ (GiB)	2³⁰ = 1 073 741 824	7,4 %
терабайт, ТБ	10¹²	тебибайт, ТиБ (TiB)	2⁴⁰	10,0 %
петабайт, ПБ	10¹⁵	пебибайт, ПиБ (PiB)	2⁵⁰	12,6 %
эксабайт, ЭБ	10¹⁸	эксбибайт, ЭиБ (EiB)	2⁶⁰	15,3 %

Производители накопителей указывают объём в десятичных единицах, а Windows считает в двоичных, но пишет «ГБ». Поэтому диск на 1 ТБ = 10¹² байт показывается как 10¹²/2³⁰ ≈ 931 «ГБ» — место никуда не пропало. Скорость передачи данных всегда измеряют в десятичных единицах и в битах: 100 Мбит/с = 12,5 МБ/с.

Диапазоны целочисленных типов

Тип	Бит	Без знака	Со знаком (дополнительный код)
byte / int8	8	0 … 255	−128 … 127
short / int16	16	0 … 65 535	−32 768 … 32 767
int / int32	32	0 … 4 294 967 295	−2 147 483 648 … 2 147 483 647
long / int64	64	0 … 18 446 744 073 709 551 615	−9 223 372 036 854 775 808 … 9 223 372 036 854 775 807

Числа с плавающей точкой двойной точности (double) хранят 53 значащих бита, поэтому все целые числа до 2⁵³ = 9 007 199 254 740 992 представимы точно, а дальше появляются пропуски. В JavaScript это значение Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1.

Шестнадцатеричные цифры

Hex	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Dec	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Bin	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Каждая шестнадцатеричная цифра соответствует ровно четырём битам, поэтому перевод между двоичной и шестнадцатеричной системами делается по группам: 1011 0110₂ = B6₁₆ = 182₁₀. Восьмеричная цифра соответствует трём битам: 10 110 110₂ = 266₈.

Приёмы перевода

Из десятичной в двоичную: делим число на 2 и записываем остатки снизу вверх. 37 → 18 (1) → 9 (0) → 4 (1) → 2 (0) → 1 (0) → 0 (1): 37 = 100101₂.
Из двоичной в десятичную: складываем степени двойки, стоящие на местах единиц: 100101₂ = 32 + 4 + 1 = 37.
Число бит для N значений: ⌈log₂ N⌉. Например, для 1000 вариантов нужно 10 бит, для миллиона — 20.
Проверка, что число — степень двойки: у него ровно одна единица в двоичной записи; в программах это проверяют выражением n & (n − 1) == 0.

Стойкость пароля в битах — это log₂ числа вариантов: пароль из 12 случайных символов из 62 (буквы и цифры) даёт 12·log₂ 62 ≈ 71,5 бита. Подробнее — в калькуляторах генератора паролей и проверки стойкости пароля.

Рекламный блок «внизу страницы» (ads/bottom.html)