Прогибы, углы поворота и изгибающие моменты типовых балок
Справочная таблица формул сопромата для типовых балок постоянного сечения: консоль, шарнирно опёртая балка, балка с двумя защемлениями и балка с защемлением и шарниром под сосредоточенной силой, моментом, равномерно распределённой и треугольной нагрузкой. Максимальный изгибающий момент, прогиб, угол поворота, реакции опор, принцип суперпозиции и допустимые прогибы.
Формулы справедливы для балок постоянного сечения из линейно-упругого материала при малых прогибах. Обозначения: L — пролёт, P — сосредоточенная сила, q — интенсивность распределённой нагрузки (Н/м), M0 — сосредоточенный момент, E — модуль упругости, I — момент инерции сечения относительно нейтральной оси, EI — жёсткость при изгибе. Для произвольных нагрузок и опор с построением эпюр воспользуйтесь калькулятором расчёта балки на изгиб.
Консоль (защемление слева, свободный конец справа)
| Нагрузка | Mmax (в заделке) | Прогиб конца f | Угол поворота конца θ |
|---|---|---|---|
| Сила P на конце | PL | PL³ / (3EI) | PL² / (2EI) |
| Сила P на расстоянии a от заделки | Pa | Pa²(3L − a) / (6EI) | Pa² / (2EI) |
| Равномерная нагрузка q по всей длине | qL² / 2 | qL⁴ / (8EI) | qL³ / (6EI) |
| Треугольная нагрузка, q у заделки, 0 на конце | qL² / 6 | qL⁴ / (30EI) | qL³ / (24EI) |
| Треугольная нагрузка, 0 у заделки, q на конце | qL² / 3 | 11qL⁴ / (120EI) | qL³ / (8EI) |
| Момент M0 на конце | M0 | M0L² / (2EI) | M0L / (EI) |
Реакции заделки: вертикальная сила равна суммарной нагрузке, реактивный момент — Mmax.
Шарнирно опёртая балка (на двух опорах)
| Нагрузка | Реакции | Mmax | fmax | θ на опорах |
|---|---|---|---|---|
| Сила P в середине | P/2, P/2 | PL / 4 | PL³ / (48EI) | PL² / (16EI) |
| Сила P на расстоянии a от левой опоры (b = L − a) | Pb/L, Pa/L | Pab / L (под силой) | под силой: Pa²b² / (3EIL) | θA = Pab(L + b) / (6EIL) |
| Две силы P на расстоянии a от опор | P, P | Pa (между силами) | Pa(3L² − 4a²) / (24EI) | Pa(L − a) / (2EI) |
| Равномерная нагрузка q | qL/2, qL/2 | qL² / 8 | 5qL⁴ / (384EI) | qL³ / (24EI) |
| Треугольная нагрузка от 0 до q | qL/6, qL/3 | qL² / (9√3) ≈ 0,0642 qL² при x = L/√3 | ≈ 0,00652 qL⁴ / EI при x ≈ 0,519L | 7qL³ / (360EI), 8qL³ / (360EI) |
| Момент M0 на правой опоре | ±M0/L | M0 | M0L² / (9√3 EI) при x = L/√3 | M0L / (6EI) слева, M0L / (3EI) справа |
При силе не в середине максимальный прогиб находится не под силой, а ближе к середине пролёта: при a > b он равен Pb(L² − b²)3/2 / (9√3 EIL) в точке x = √((L² − b²)/3) от левой опоры.
Балка с двумя защемлёнными концами
| Нагрузка | Момент в заделках | Момент в пролёте | fmax |
|---|---|---|---|
| Сила P в середине | PL / 8 | PL / 8 | PL³ / (192EI) |
| Равномерная нагрузка q | qL² / 12 | qL² / 24 | qL⁴ / (384EI) |
Балка с защемлением и шарнирной опорой
| Нагрузка | Реакции (заделка, шарнир) | Момент в заделке | Наибольший момент в пролёте | fmax |
|---|---|---|---|---|
| Сила P в середине | 11P/16, 5P/16 | 3PL / 16 | 5PL / 32 (под силой) | PL³ / (48√5 EI) ≈ 0,00932 PL³ / EI на расстоянии L/√5 от шарнира |
| Равномерная нагрузка q | 5qL/8, 3qL/8 | qL² / 8 | 9qL² / 128 на расстоянии 3L/8 от шарнира | qL⁴ / (185EI) на расстоянии ≈ 0,4215L от шарнира |
Защемление уменьшает прогиб: при равномерной нагрузке балка с двумя заделками прогибается в 5 раз меньше шарнирной, а с одной заделкой — примерно в 2,4 раза меньше. Но в заделке возникает момент, а реальные «жёсткие» заделки всегда немного податливы, поэтому в расчётах их идеальность лучше не переоценивать.
Принцип суперпозиции
Для линейно-упругой балки прогибы, углы, моменты и реакции от нескольких нагрузок складываются. Например, шарнирная балка с равномерной нагрузкой q и силой P посередине прогибается на f = 5qL⁴/(384EI) + PL³/(48EI).
Пример
Деревянная балка перекрытия 50×200 мм (сосна, E = 10 ГПа) пролётом 4 м, нагрузка 1,5 кН/м. Момент инерции I = bh³/12 = 0,05·0,2³/12 = 3,33·10⁻⁵ м⁴. Прогиб f = 5·1500·4⁴/(384·10¹⁰·3,33·10⁻⁵) ≈ 0,015 м = 15 мм, то есть L/267. Момент M = 1500·16/8 = 3 кН·м, момент сопротивления W = bh²/6 = 3,33·10⁻⁴ м³, напряжение σ = M/W = 9 МПа.
Допустимые прогибы
Типичные предельные значения (точные — по СП 20.13330 «Нагрузки и воздействия» с учётом пролёта и назначения):
| Элемент | Предельный прогиб |
|---|---|
| Балки перекрытий, видимые снизу (пролёт 3–6 м) | L/150 – L/200 |
| Перекрытия под оштукатуренным потолком или плиткой | L/250 – L/350 |
| Подкрановые балки | L/400 – L/600 |
| Валы и оси машин (под шестернями) | 0,0002–0,0003 L |
| Консоли (вылет Lк) | как для пролёта 2Lк |
Комментарии и вопросы