Калькулятор геометрических характеристик сечения

Что такое момент инерции и момент сопротивления

Прочность и жёсткость балки зависят не только от материала и площади сечения, но и от того, как материал распределён относительно оси изгиба. Это описывают геометрические характеристики сечения:

• Осевой момент инерции I_x = ∫ y² dA (мм⁴, см⁴) — мера жёсткости при изгибе. Прогиб балки обратно пропорционален E · I.
• Момент сопротивления W_x = I_x / y_max (см³) — мера прочности при изгибе. Наибольшее напряжение σ = M / W_x.
• Радиус инерции i = √(I / A) — нужен для расчёта на устойчивость: гибкость стержня λ = μL / i.
• Полярный момент инерции I_p и полярный момент сопротивления W_p — для круглых валов при кручении.

Формулы для простых сечений

Сложные сечения разбивают на прямоугольники и складывают их моменты инерции по теореме о параллельном переносе осей (теорема Штейнера): I_x = Σ (I_i + A_i · a_i²), где a_i — расстояние от центра тяжести части до общей центральной оси. Так и работает калькулятор.

Почему двутавр выгоднее прямоугольника

Момент инерции растёт пропорционально квадрату расстояния от оси, поэтому материал, вынесенный в полки, работает намного эффективнее. Двутавр высотой 200 мм с полками 100 × 8,4 мм и стенкой 5,2 мм имеет площадь около 26 см² и момент сопротивления около 181 см³. Сплошной прямоугольник той же площади 50 × 53 мм — всего около 23 см³, то есть в 8 раз меньше.

Как пользоваться

• Ось x горизонтальна, нагрузка на балку действует вертикально. Чтобы «положить» профиль плашмя, поменяйте местами ширину и высоту или используйте Iy и Wy.
• Для несимметричных сечений (тавр, швеллер) центр тяжести смещён, а момент сопротивления разный для верхних и нижних волокон. Для проверки прочности берётся меньший.
• Скругления прокатных профилей не учитываются, поэтому результаты для двутавров и швеллеров по ГОСТ отличаются от таблиц сортамента на 1–5%. Для точного расчёта стандартного профиля берите значения из сортамента.