Калькулятор устойчивости сжатого стержня
Рассчитайте сжатый стержень (колонну, стойку, шток) на устойчивость: коэффициент приведения длины, гибкость, критическое напряжение и критическую силу по формуле Эйлера, Ясинского или параболе Джонсона, допускаемую нагрузку и запас устойчивости. Труба, профиль, двутавр или характеристики из сортамента.
Потеря устойчивости
Длинный сжатый стержень может разрушиться не от того, что напряжение достигло предела текучести, а потому, что он внезапно выпучивается вбок. Сила, при которой прямолинейная форма перестаёт быть устойчивой, называется критической. Её превышение опасно: прогиб нарастает лавинообразно, и конструкция складывается.
Формула Эйлера
Fкр = π² · E · Imin / (μ · L)²
Здесь Imin — наименьший момент инерции сечения (стержень выпучивается в сторону наименьшей жёсткости), μ — коэффициент приведения длины, зависящий от закрепления концов: 2 для консоли, 1 для шарнирного опирания, 0,7 для схемы «заделка — шарнир», 0,5 для двух заделок. Произведение μL — расчётная длина, на которой укладывается одна полуволна синусоиды.
Гибкость и границы применимости
Удобнее работать с напряжениями: σкр = π²E / λ², где гибкость λ = μL / imin, imin = √(Imin / A). Формула Эйлера справедлива, пока σкр не превышает предел пропорциональности, то есть при λ ≥ λпред = π√(E / σпц). Для стали Ст3 λпред ≈ 100.
- Большая гибкость (λ ≥ λпред) — формула Эйлера.
- Средняя гибкость — эмпирическая формула Ясинского σкр = a − b·λ (для Ст3 действует при λ от 61 до 100) или парабола Джонсона σкр = σт − σт² · λ² / (4π²E).
- Малая гибкость — стержень не теряет устойчивость, его рассчитывают на сжатие по пределу текучести.
Пример
Стойка из трубы 57 × 3,5 мм длиной 3 м с шарнирными концами. Радиус инерции сечения 18,96 мм, гибкость 158 — область Эйлера. Критическое напряжение 78,8 МПа, критическая сила 46,4 кН. При запасе устойчивости 2 стойку можно нагружать силой до 23,2 кН — почти в 4 раза меньше, чем допускает прочность на сжатие. Если укоротить стойку до 1,5 м, гибкость упадёт до 79, и по Ясинскому критическая сила вырастет до 129 кН.
Как повысить устойчивость
- Уменьшить расчётную длину: добавить промежуточные связи или жёстче закрепить концы.
- Выбрать сечение с большим радиусом инерции при той же площади: труба устойчивее сплошного круга, квадратная труба — уголка.
- Сделать сечение равноустойчивым: у двутавра Iy намного меньше Ix, поэтому одиночный двутавр в качестве колонны неэффективен без раскреплений из плоскости.
В строительном проектировании стальные колонны рассчитывают по нормам с коэффициентом устойчивости φ, который учитывает начальные искривления и остаточные напряжения. Результат этого калькулятора — теоретическая критическая сила идеального стержня.
Комментарии и вопросы