Калькулятор балки: реакции, эпюры Q и M, прогиб
Онлайн-расчёт балки на изгиб: опорные реакции, эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, максимальные нормальные и касательные напряжения, прогиб и проверка по допустимому прогибу. Двутавр, швеллер, труба, брус или характеристики из сортамента; сталь, алюминий, дерево.
Эпюра поперечных сил Q, кН
Эпюра изгибающих моментов M, кН·м
Прогиб балки, мм
Как рассчитывается балка
Расчёт выполняется в три шага.
- Опорные реакции находят из уравнений равновесия: сумма сил и сумма моментов относительно любой точки равны нулю. Для двухопорной балки RB = Σ(Fᵢ · aᵢ) / l, где aᵢ — расстояние от силы до опоры A, l — расстояние между опорами. У консоли в заделке возникают вертикальная реакция и реактивный момент.
- Эпюры. Поперечная сила Q в сечении равна сумме сил, приложенных слева от него. Изгибающий момент M — сумма моментов этих сил относительно сечения. Где Q = 0, момент достигает экстремума.
- Проверка прочности и жёсткости. Наибольшее нормальное напряжение σ = Mmax / Wx не должно превышать допускаемое [σ]. Прогиб находят интегрированием уравнения упругой линии E·I·v″ = M(x) с учётом условий закрепления.
Правило знаков
Изгибающий момент положителен, если балка изгибается выпуклостью вниз (растянуты нижние волокна), — на эпюре он откладывается вверх. Поперечная сила положительна, если силы слева от сечения направлены вверх. В строительной практике эпюру M часто строят на растянутом волокне, то есть зеркально — значения от этого не меняются.
Типовые формулы
| Схема | Mmax | Прогиб f |
|---|---|---|
| Две опоры, равномерная нагрузка q | qL² / 8 | 5qL⁴ / (384EI) |
| Две опоры, сила F посередине | FL / 4 | FL³ / (48EI) |
| Консоль, сила F на конце | FL | FL³ / (3EI) |
| Консоль, равномерная нагрузка q | qL² / 2 | qL⁴ / (8EI) |
Пример
Стальная балка пролётом 6 м с равномерной нагрузкой 10 кН/м и сосредоточенной силой 20 кН на расстоянии 2 м от левой опоры. Реакции: RA = 43,33 кН, RB = 36,67 кН. Поперечная сила обращается в ноль на расстоянии 2,33 м, где момент максимален: Mmax = 67,2 кН·м. Если взять профиль с Wx = 371 см³ и Ix = 5010 см⁴ (введите их в режиме «Ввести характеристики»), напряжение составит 181 МПа, прогиб — 24,5 мм, это L/245.
Допустимый прогиб
Ориентировочные предельные прогибы: L/150 — для второстепенных конструкций, L/200 — для балок перекрытий и покрытий, L/250 и жёстче — для балок под оборудование, под оштукатуренные потолки и плиточные полы. Для консоли за L принимают удвоенный вылет. Точные требования приведены в своде правил «Нагрузки и воздействия»; там же — коэффициенты надёжности по нагрузке, которые нужно учитывать при проектировании.
Ограничения
- Расчёт упругий, по линейной теории: материал работает в пределах закона Гука, прогибы малы по сравнению с длиной.
- Не проверяются общая устойчивость плоской формы изгиба (важна для высоких узких балок без раскреплений), местная устойчивость стенки и полок, смятие под опорами.
- Для деревянных балок задавайте запас 3–4 или используйте расчётные сопротивления древесины из норм.
- Калькулятор — инструмент для оценки и учебных задач. Проект несущих конструкций зданий должен выполнять специалист по действующим нормам.
Комментарии и вопросы