Калькулятор главных напряжений и круга Мора

Главные напряжения

Напряжения в точке зависят от того, как ориентирована площадка, через которую мы на них смотрим. Среди всех площадок есть такие, на которых касательные напряжения равны нулю, — главные площадки. Нормальные напряжения на них называются главными и являются наибольшим и наименьшим из возможных. При плоском напряжённом состоянии:

σ_{max, min} = (σ_x + σ_y) / 2 ± √[((σ_x − σ_y) / 2)² + τ_xy²]

Направление главной площадки: tg 2α₀ = 2τ_xy / (σ_x − σ_y). Третье главное напряжение (по нормали к плоскости) равно нулю. Главные напряжения нумеруют в порядке убывания: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

Круг Мора

Если отложить по горизонтали нормальное, а по вертикали касательное напряжение на площадке, то при повороте площадки точка опишет окружность — круг Мора. Его центр находится в точке (σ_x + σ_y) / 2, радиус равен наибольшему касательному напряжению в плоскости. Поворот площадки на угол α соответствует повороту точки на круге на 2α. Пересечения с горизонтальной осью — главные напряжения.

Теории прочности

Чтобы сравнить сложное напряжённое состояние с пределом текучести, полученным при простом растяжении, вычисляют эквивалентное напряжение:

• Теория наибольших касательных напряжений (Треска, III теория): σ_экв = σ1 − σ3. Даёт результат с небольшим запасом.
• Энергетическая теория (Мизеса, IV теория): σ_экв = √(σ_x² − σ_xσ_y + σ_y² + 3τ_xy²). Лучше всего согласуется с опытами для пластичных металлов и используется в большинстве программ расчёта методом конечных элементов.

Для вала, который одновременно изгибается и скручивается, σ_y = 0, и формулы упрощаются: σ_экв = √(σ² + 4τ²) по Треска и √(σ² + 3τ²) по Мизесу.

Пример

σ_x = 80 МПа, σ_y = −40 МПа, τ_xy = 30 МПа. Центр круга — 20 МПа, радиус √(60² + 30²) = 67,1 МПа. Главные напряжения 87,1 и −47,1 МПа, главная площадка повёрнута на 13,3°. Эквивалентное напряжение по Мизесу 117,9 МПа, по Треска 134,2 МПа; запас по пределу текучести Ст3 (245 МПа) — 2,08 и 1,83.