Формулы геометрических характеристик сечений
Справочник формул для расчёта площади, центра тяжести, моментов инерции, моментов сопротивления и радиусов инерции простых сечений: прямоугольник, коробка, круг, кольцо, тонкостенная труба, треугольник, полукруг, эллипс, квадрат на ребре. Теорема о параллельном переносе осей, коэффициенты α и β для кручения прямоугольного стержня, коэффициенты приведения длины μ и предельная гибкость для расчёта на устойчивость.
Геометрические характеристики сечения определяют жёсткость и прочность стержня: момент инерции I входит в формулы прогибов и критической силы, момент сопротивления W — в формулу напряжений при изгибе σ = M/W, полярный момент — в расчёт на кручение. Все моменты ниже даны относительно центральных осей; ось x горизонтальна, высота сечения h откладывается по вертикали, изгиб — в вертикальной плоскости. Для профилей (двутавр, швеллер, тавр, уголок) и составных сечений используйте калькулятор момента инерции сечения.
Простые сечения
| Сечение | Площадь A | Центр тяжести | Ix | Wx | ix |
|---|---|---|---|---|---|
| Прямоугольник b × h | bh | h/2 | bh³/12 | bh²/6 | h/√12 ≈ 0,289h |
| Квадрат a × a | a² | a/2 | a⁴/12 | a³/6 | 0,289a |
| Квадрат на ребре (по диагонали) | a² | a/√2 | a⁴/12 | a³/(6√2) ≈ 0,118a³ | 0,289a |
| Коробка B × H, отверстие b × h | BH − bh | H/2 | (BH³ − bh³)/12 | (BH³ − bh³)/(6H) | √(I/A) |
| Круг диаметром d | πd²/4 | d/2 | πd⁴/64 ≈ 0,0491d⁴ | πd³/32 ≈ 0,0982d³ | d/4 |
| Кольцо D × d (c = d/D) | π(D² − d²)/4 | D/2 | πD⁴(1 − c⁴)/64 | πD³(1 − c⁴)/32 | √(D² + d²)/4 |
| Тонкостенная труба: средний радиус r, стенка t | 2πrt | r | πr³t | πr²t | r/√2 |
| Треугольник: основание b, высота h | bh/2 | h/3 от основания | bh³/36 | bh²/24 (вершина), bh²/12 (основание) | h/√18 ≈ 0,236h |
| Полукруг радиусом r (диаметр внизу) | πr²/2 | 4r/(3π) ≈ 0,424r от диаметра | (π/8 − 8/(9π))r⁴ ≈ 0,1098r⁴ | ≈ 0,1908r³ (вершина), ≈ 0,2587r³ (диаметр) | ≈ 0,264r |
| Эллипс: полуоси a (по x), b (по y) | πab | b | πab³/4 | πab²/4 | b/2 |
Для несимметричных сечений (треугольник, полукруг) момент сопротивления различен для верхнего и нижнего волокна: W = I/ymax, где ymax — расстояние от нейтральной оси до соответствующего края. Опасным будет волокно с меньшим W.
Полярные характеристики для кручения
| Сечение | Ip (или Iк) | Wp (или Wк) |
|---|---|---|
| Круг диаметром d | πd⁴/32 ≈ 0,0982d⁴ | πd³/16 ≈ 0,196d³ |
| Кольцо D × d (c = d/D) | πD⁴(1 − c⁴)/32 | πD³(1 − c⁴)/16 |
| Тонкостенная труба r, t | 2πr³t | 2πr²t |
| Прямоугольник h × b (h ≥ b) | βhb³ | αhb² |
| Тонкостенный замкнутый контур (площадь внутри средней линии Ω, длина s) | 4Ω²t/s | 2Ωtmin |
| Тонкостенный открытый профиль (полосы hi × ti) | ≈ Σ hiti³/3 | Iк/tmax |
Коэффициенты α и β для прямоугольника рассчитаны по точному решению задачи Сен-Венана (ряды Фурье):
| h/b | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| α | 0,208 | 0,231 | 0,246 | 0,258 | 0,267 | 0,282 | 0,298 | 0,307 | 0,312 | 0,333 |
| β | 0,141 | 0,196 | 0,229 | 0,249 | 0,263 | 0,281 | 0,298 | 0,307 | 0,312 | 0,333 |
Наибольшее касательное напряжение τmax = T/Wк возникает в середине длинной стороны. Открытые профили (уголок, швеллер, разрезанная труба) сопротивляются кручению в десятки раз хуже замкнутых той же площади: разрезанная вдоль тонкостенная труба становится примерно в 3(r/t)² раз податливее.
Перенос и поворот осей
Момент инерции относительно оси, параллельной центральной и отстоящей от неё на расстояние d (теорема Гюйгенса — Штейнера):
I = Ic + A d².
Для составного сечения сначала находят общий центр тяжести yc = Σ Aiyi / Σ Ai, затем суммируют Ici + Ai(yi − yc)². Отверстия учитывают со знаком минус. Главные моменты инерции (экстремальные по всем направлениям):
I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √(((Ix − Iy)/2)² + Ixy²), tg 2φ = −2Ixy / (Ix − Iy).
Полярный момент инерции равен сумме осевых: Ip = Ix + Iy (для круга Ip = 2Ix).
Коэффициенты приведения длины для расчёта на устойчивость
Критическая сила по Эйлеру Fкр = π²EImin/(μL)², гибкость λ = μL/imin. Коэффициент μ зависит от закрепления концов:
| Закрепление концов | μ (теоретический) | Во сколько раз Fкр больше, чем у шарнирного |
|---|---|---|
| Заделка — свободный конец | 2 | 0,25 |
| Шарнир — шарнир | 1 | 1 |
| Заделка — подвижная заделка (без поворота, со смещением) | 1 | 1 |
| Заделка — шарнир | 0,7 | ≈ 2,05 |
| Заделка — заделка | 0,5 | 4 |
Формула Эйлера применима при гибкости больше предельной λпр = π√(E/σпц). Для стали Ст3 (E = 206 ГПа, σпц ≈ 200 МПа) λпр ≈ 100, для дерева — около 70, для дюралюминия — около 50–60. При меньшей гибкости используют эмпирическую формулу Ясинского σкр = a − bλ (для Ст3 a = 310 МПа, b = 1,14 МПа) или параболу Джонсона. Реальные заделки не абсолютно жёсткие, поэтому в нормах для заделок часто принимают μ больше теоретического. Расчёт со всеми случаями — в калькуляторе устойчивости стержня.
Комментарии и вопросы