Таблица множителей сложных процентов и правило 72

При сложных процентах доход каждый год начисляется не только на первоначальную сумму, но и на уже начисленные проценты. Сумма через n лет:

S = P · (1 + r)ⁿ,

где P — начальная сумма, r — годовая ставка в долях. Множитель (1 + r)ⁿ называют коэффициентом наращения. В таблице он приведён для ежегодной капитализации; чтобы получить итоговую сумму, умножьте вложение на число из нужной клетки.

Коэффициенты наращения (1 + r)ⁿ

Пример: 100 000 ₽ под 10 % годовых через 10 лет превратятся в 100 000 · 2,594 ≈ 259 400 ₽, через 20 лет — в 672 700 ₽. Приведённая (текущая) стоимость суммы, которую вы получите через n лет, находится делением на тот же множитель: 1 млн ₽ через 10 лет при ставке 10 % сегодня стоят 1 000 000 / 2,594 ≈ 385 500 ₽.

Время удвоения капитала: правило 72

Сколько лет нужно, чтобы сумма удвоилась? Точный ответ — ln 2 / ln(1 + r). Быстрая оценка в уме — разделить 72 на ставку в процентах (правило 72) или 70 на ставку (правило 70, точнее при малых ставках).

Правило работает и в обратную сторону: при инфляции 8 % цены удваиваются примерно за 9 лет, а покупательная способность сбережений, не приносящих дохода, за это время падает вдвое.

Частота капитализации и эффективная ставка

Если проценты начисляются m раз в год, эффективная годовая ставка (та, которая дала бы тот же результат при ежегодной капитализации):

r_эфф = (1 + r/m)^m − 1.

Банки обычно указывают номинальную ставку, а эффективную приводят мелким шрифтом. При сравнении вкладов с разной капитализацией сравнивайте именно эффективные ставки. Точный расчёт вклада с пополнениями, капитализацией и налогом — в калькуляторе вкладов.

Реальная доходность

Чтобы понять, растут ли сбережения в покупательной способности, из доходности нужно вычесть инфляцию. Точная формула Фишера:

r_реал = (1 + r) / (1 + i) − 1 ≈ r − i.

Например, вклад под 16 % при инфляции 9 % даёт реальную доходность 1,16/1,09 − 1 ≈ 6,4 % в год, а не 7 %. Если доход облагается налогом, его нужно вычесть до сравнения с инфляцией.

Регулярные взносы

Если каждый год в конце периода вносить сумму A, через n лет накопится

S = A · ((1 + r)ⁿ − 1) / r.

Множитель берётся из той же таблицы: при 10 % за 20 лет ((6,727 − 1) / 0,1) ≈ 57,3 — взносы по 100 000 ₽ в год вырастут до 5,73 млн ₽, из которых вложено только 2 млн. Подробный график роста с разбивкой по годам строит калькулятор сложного процента.