Формулы площадей фигур и объёмов тел
Сводная таблица формул: площади треугольника (через основание и высоту, формула Герона, через радиусы), квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, трапеции, круга, сектора, сегмента, эллипса и правильного многоугольника; объёмы и площади поверхности куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, усечённого конуса, шара, шарового сегмента и тора.
Рекламный блок «после калькулятора» (ads/after-calc.html)
Все формулы ниже легко проверить в калькуляторах площади фигур и объёма тел, где их можно применить к своим размерам. Обозначения: a, b, c — стороны, h — высота, r и R — радиусы, d — диаметр или диагональ, P — периметр.
Треугольник
| Что известно | Формула площади |
|---|---|
| Основание и высота | S = ½ ah |
| Две стороны и угол между ними | S = ½ ab sin C |
| Три стороны (формула Герона) | S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), p = (a + b + c)/2 |
| Радиус вписанной окружности | S = pr |
| Радиус описанной окружности | S = abc4R |
| Прямоугольный, катеты a и b | S = ½ ab |
| Равносторонний со стороной a | S = √34a2 ≈ 0,433 a2, h = √32a |
| Координаты вершин | S = ½ |(x2 − x1)(y3 − y1) − (x3 − x1)(y2 − y1)| |
Четырёхугольники и многоугольники
| Фигура | Площадь | Периметр, диагональ |
|---|---|---|
| Квадрат | S = a2 = d2/2 | P = 4a, d = a√2 |
| Прямоугольник | S = ab | P = 2(a + b), d = √(a2 + b2) |
| Параллелограмм | S = ah = ab sin α | d12 + d22 = 2(a2 + b2) |
| Ромб | S = d1d2/2 = a2 sin α | P = 4a |
| Трапеция | S = a + b2h | a, b — основания; средняя линия (a + b)/2 |
| Произвольный четырёхугольник | S = ½ d1d2 sin φ | φ — угол между диагоналями |
| Правильный n-угольник со стороной a | S = na24 tg(π/n) | правильный шестиугольник: S = (3√3/2)a² ≈ 2,598a² |
Круг и его части
| Фигура | Площадь | Длина |
|---|---|---|
| Круг | S = πr2 = πd2/4 | L = 2πr = πd |
| Сектор с углом α (в радианах) | S = ½ r2α | дуга l = rα |
| Сектор с углом α° | S = πr2α°/360 | l = πrα°/180 |
| Сегмент | S = ½ r2(α − sin α) | хорда 2r sin(α/2) |
| Кольцо | S = π(R2 − r2) | |
| Эллипс с полуосями a и b | S = πab | L ≈ π[3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))] (Рамануджан) |
Рекламный блок «внутри статьи» (ads/in-article.html)
Объёмы и площади поверхности тел
| Тело | Объём | Площадь поверхности |
|---|---|---|
| Куб | V = a3 | S = 6a2, диагональ a√3 |
| Прямоугольный параллелепипед | V = abc | S = 2(ab + bc + ac) |
| Прямая призма | V = Sоснh | S = 2Sосн + Pоснh |
| Пирамида | V = ⅓ Sоснh | правильная: S = Sосн + ½Pосн·l, l — апофема |
| Усечённая пирамида | V = ⅓ h(S1 + √(S1S2) + S2) | |
| Цилиндр | V = πr2h | S = 2πr(r + h), боковая 2πrh |
| Конус | V = ⅓ πr2h | S = πr(r + l), l = √(r2 + h2) |
| Усечённый конус | V = ⅓ πh(R2 + Rr + r2) | боковая π(R + r)l |
| Шар | V = 43πr3 = πd36 | S = 4πr2 = πd2 |
| Шаровой сегмент высотой h | V = πh2(r − h/3) | сферическая часть 2πrh |
| Тор | V = 2π2Rr2 | S = 4π2Rr |
| Эллипсоид | V = 43πabc |
Полезные соотношения
- При увеличении всех размеров в k раз площади растут в k², а объёмы — в k³ раз. Шар вдвое большего диаметра весит в 8 раз больше.
- Объём конуса и пирамиды — ровно треть объёма цилиндра или призмы с тем же основанием и высотой.
- Шар, вписанный в цилиндр, занимает 2/3 его объёма — этим открытием гордился Архимед.
- Из всех фигур данного периметра наибольшую площадь имеет круг, из всех тел данной площади поверхности наибольший объём — шар.
Рекламный блок «внизу страницы» (ads/bottom.html)
Комментарии и вопросы