Решение треугольника онлайн
Решите треугольник по трём сторонам, двум сторонам и углу между ними или по стороне и двум углам. Калькулятор найдёт все стороны и углы, площадь, периметр, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы окружностей и нарисует чертёж.
Решение
Обозначения
Вершины треугольника обозначают A, B и C, а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами: сторона a лежит напротив угла A, b — напротив B, c — напротив C. Сумма углов любого треугольника равна 180°.
Как решается треугольник
Треугольник полностью определяется тремя независимыми элементами, среди которых есть хотя бы одна сторона. Калькулятор поддерживает три самых частых случая.
- Три стороны. Углы находятся по теореме косинусов: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), аналогично для B, а C = 180° − A − B.
- Две стороны и угол между ними. Третья сторона по теореме косинусов: c² = a² + b² − 2ab · cos C, затем углы — как в первом случае.
- Сторона и два прилежащих угла. Третий угол C = 180° − A − B, остальные стороны по теореме синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
Формулы элементов треугольника
| Элемент | Формула |
|---|---|
| Площадь (формула Герона) | S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), p = (a + b + c) / 2 |
| Площадь через две стороны и угол | S = ½ · a · b · sin C |
| Высота к стороне a | hₐ = 2S / a |
| Медиана к стороне a | mₐ = ½ · √(2b² + 2c² − a²) |
| Биссектриса угла A | lₐ = √(bc · ((b + c)² − a²)) / (b + c) |
| Радиус описанной окружности | R = abc / (4S) = a / (2 sin A) |
| Радиус вписанной окружности | r = S / p |
Примеры
Египетский треугольник 3, 4, 5. Угол напротив стороны 5 равен 90°, два других — 36,87° и 53,13°. Площадь S = ½ · 3 · 4 = 6, радиус описанной окружности R = 2,5 (половина гипотенузы), вписанной — r = 6 / 6 = 1.
Две стороны и угол. a = 7, b = 9, угол между ними C = 60°. Третья сторона c = √(49 + 81 − 2 · 7 · 9 · 0,5) = √67 ≈ 8,185. Площадь S = ½ · 7 · 9 · sin 60° ≈ 27,28. Углы A ≈ 47,78° и B ≈ 72,22°.
Частые вопросы
Почему нельзя решить треугольник по трём углам?
Три угла задают только форму треугольника, но не размер: подобные треугольники разного размера имеют одинаковые углы. Нужна хотя бы одна сторона.
А если известны две стороны и угол не между ними?
Этот случай может давать два разных треугольника, один или ни одного — в зависимости от соотношения сторон. Удобнее сначала найти третью сторону по теореме косинусов, решив квадратное уравнение, и затем воспользоваться режимом «Три стороны».
Как понять, что треугольник прямоугольный?
Если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других (теорема, обратная теореме Пифагора), угол напротив неё прямой. Если квадрат больше суммы — треугольник тупоугольный, меньше — остроугольный.
Комментарии и вопросы