Тригонометрические формулы
Сводка тригонометрических формул: основное тригонометрическое тождество, формулы сложения и вычитания аргументов, двойного, тройного и половинного угла, понижения степени, преобразования суммы в произведение и обратно, формулы приведения с правилом запоминания, универсальная подстановка, теоремы синусов и косинусов для треугольника.
Основные тождества
| sin2 α + cos2 α = 1 | основное тригонометрическое тождество |
| tg α = sin αcos α, ctg α = cos αsin α, tg α · ctg α = 1 | |
| 1 + tg2 α = 1cos2 α | позволяет найти cos α по tg α |
| 1 + ctg2 α = 1sin2 α | |
| sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α, tg(−α) = −tg α | синус, тангенс и котангенс нечётны, косинус чётен |
| sin(α + 2πk) = sin α, tg(α + πk) = tg α | период синуса и косинуса 2π, тангенса и котангенса π |
Формулы сложения
| sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β |
| cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β |
| tg(α ± β) = tg α ± tg β1 ∓ tg α tg β |
Двойной, тройной и половинный угол
| sin 2α = 2 sin α cos α | cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1 = 1 − 2sin2 α |
| tg 2α = 2 tg α1 − tg2 α | sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α, cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α |
| sin2 α = 1 − cos 2α2 | cos2 α = 1 + cos 2α2 (формулы понижения степени) |
| sin α2 = ±√1 − cos α2, cos α2 = ±√1 + cos α2 | tg α2 = sin α1 + cos α = 1 − cos αsin α |
Знак перед корнем в формулах половинного угла выбирают по четверти, в которой лежит α/2.
Сумма и произведение
| sin α + sin β = 2 sin α + β2 cos α − β2 | sin α − sin β = 2 cos α + β2 sin α − β2 |
| cos α + cos β = 2 cos α + β2 cos α − β2 | cos α − cos β = −2 sin α + β2 sin α − β2 |
| sin α sin β = ½[cos(α − β) − cos(α + β)] | cos α cos β = ½[cos(α − β) + cos(α + β)] |
| sin α cos β = ½[sin(α − β) + sin(α + β)] | a sin x + b cos x = √(a2 + b2) · sin(x + φ), tg φ = b/a (при a > 0) |
Последняя формула (метод вспомогательного угла) показывает, что сумма синусоид одной частоты — снова синусоида. Её используют при сложении переменных токов и колебаний.
Формулы приведения
| Аргумент | sin | cos | tg |
|---|---|---|---|
| π/2 − α (90° − α) | cos α | sin α | ctg α |
| π/2 + α (90° + α) | cos α | −sin α | −ctg α |
| π − α (180° − α) | sin α | −cos α | −tg α |
| π + α (180° + α) | −sin α | −cos α | tg α |
| 3π/2 − α (270° − α) | −cos α | −sin α | ctg α |
| 3π/2 + α (270° + α) | −cos α | sin α | −ctg α |
| 2π − α (360° − α) | −sin α | cos α | −tg α |
Мнемоническое правило. Если в аргументе стоит π/2 или 3π/2 («вертикальная» ось), функция меняется на кофункцию (синус ↔ косинус, тангенс ↔ котангенс); если π или 2π — не меняется. Знак результата — это знак исходной функции в той четверти, где лежит аргумент, если считать α острым углом.
Выражение через тангенс половинного угла
Если t = tg(α/2), то sin α = 2t/(1 + t²), cos α = (1 − t²)/(1 + t²), tg α = 2t/(1 − t²). Эта универсальная подстановка сводит тригонометрические уравнения и интегралы к алгебраическим.
Формулы для треугольника
| Теорема синусов | asin A = bsin B = csin C = 2R, R — радиус описанной окружности |
| Теорема косинусов | c2 = a2 + b2 − 2ab cos C |
| Площадь | S = ½ ab sin C |
| Сумма углов | A + B + C = 180° |
При C = 90° теорема косинусов превращается в теорему Пифагора. Найти все стороны и углы треугольника по трём известным элементам можно в калькуляторе треугольника.
Комментарии и вопросы