Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Решите линейное дифференциальное уравнение любого порядка с постоянными коэффициентами онлайн с подробным решением: характеристическое уравнение и его корни, фундаментальная система решений, частное решение для правой части вида P(x)·e^(αx)·cos βx (включая резонанс), общее решение, решение задачи Коши или краевой задачи и график.
Решение
Как решается линейное уравнение с постоянными коэффициентами
Уравнение вида aₙy⁽ⁿ⁾ + … + a₁y′ + a₀y = f(x), где aₖ — числа, решается в три шага.
- Характеристическое уравнение. Подставляем y = e^(λx) в однородное уравнение и получаем многочлен aₙλⁿ + … + a₁λ + a₀ = 0. Его корни определяют вид решений.
- Общее решение однородного уравнения — линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными постоянными C₁, …, Cₙ.
- Частное решение неоднородного уравнения подбирается по виду правой части. Общее решение равно сумме: y = yоо + yч.
Вид решений по корням характеристического уравнения
| Корни | Решения в фундаментальной системе |
|---|---|
| Простой действительный корень λ | eλx |
| Действительный корень λ кратности k | eλx, xeλx, …, xk−1eλx |
| Пара комплексных корней α ± βi | eαxcos βx, eαxsin βx |
| Пара α ± βi кратности k | xjeαxcos βx, xjeαxsin βx, j = 0…k−1 |
Частное решение: метод неопределённых коэффициентов
Если правая часть имеет вид f(x) = e^(αx)·(P(x)·cos βx + Q(x)·sin βx), где P и Q — многочлены, частное решение ищется в виде
yч = xseαx(R(x) cos βx + S(x) sin βx),
где R и S — многочлены с неизвестными коэффициентами степени, равной наибольшей из степеней P и Q, а s — кратность числа α + βi как корня характеристического уравнения (s = 0, если оно не корень). Случай s > 0 называется резонансом: например, у уравнения y″ + 4y = sin 2x частное решение −x·cos 2x / 4 неограниченно растёт.
Если правая часть — сумма слагаемых разного вида, частные решения находятся для каждого слагаемого отдельно и складываются (принцип суперпозиции). Гиперболические функции sh и ch калькулятор сам переводит в экспоненты.
Задача Коши и краевая задача
Постоянные C₁, …, Cₙ находятся из условий. В задаче Коши заданы значения функции и её производных до (n−1)-го порядка в одной точке — решение всегда существует и единственно. В краевой задаче условия заданы в разных точках, и решения может не быть или может быть бесконечно много: например, у y″ + y = 0 с условиями y(0) = 0, y(π) = 0 решением будет любая функция C·sin x. В таком случае калькулятор сообщит, что система для постоянных вырождена.
Частые вопросы
Что делать, если правая часть — tg x, 1/x или ln x?
Метод неопределённых коэффициентов к таким правым частям неприменим, нужен метод вариации постоянных (Лагранжа). Численное решение задачи Коши для любой правой части даёт калькулятор решения дифференциальных уравнений.
Почему корни иногда показаны десятичными дробями?
Корни многочлена степени выше двух в общем случае не выражаются в радикалах удобно. Калькулятор находит точно рациональные корни, корни квадратных и биквадратных множителей, а остальные — численно с точностью около 10 знаков.
Можно ли решить уравнение с переменными коэффициентами, например y″ + xy = 0?
Нет, здесь решаются только уравнения с постоянными коэффициентами. Такие уравнения, как правило, не решаются в элементарных функциях (y″ + xy = 0 — уравнение Эйри), но их можно решить численно.
Комментарии и вопросы