Калькулятор интегралов с подробным решением

Неопределённый интеграл

Первообразная функции f(x) — это функция F(x), производная которой равна f(x). Все первообразные отличаются на постоянную, поэтому неопределённый интеграл записывают с константой: ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Калькулятор пробует методы в таком порядке:

1. Табличные интегралы — в том числе со сдвигом и растяжением аргумента: ∫ cos(3x + 1) dx = sin(3x + 1)/3 + C. Полный список — в таблице интегралов.
2. Многочлены и рациональные дроби — выделение целой части и разложение на простейшие дроби, включая квадратные множители и кратные корни знаменателя.
3. Корни из квадратного трёхчлена — выделение полного квадрата.
4. Тригонометрические произведения и степени — понижение степени, формулы произведения синусов и косинусов.
5. Замена переменной — поиск внутренней функции, производная которой стоит множителем.
6. Интегрирование по частям — ∫ u dv = uv − ∫ v du для произведений многочлена на eˣ, sin, cos, а также для ln x, arctg x и других «логарифмических» функций.

Каждый найденный ответ проверяется: калькулятор численно дифференцирует первообразную в нескольких случайных точках и сравнивает результат с подынтегральной функцией. Неверный ответ не будет показан.

Определённый и несобственный интеграл

Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона — Лейбница ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Это верно, только если первообразная непрерывна на отрезке, поэтому калькулятор дополнительно считает интеграл численно — адаптивной квадратурой Гаусса — Кронрода — и показывает точный ответ, только когда два результата совпадают.

Если предел бесконечен (inf) или функция неограниченна у конца отрезка, интеграл называется несобственным. Например, ∫₀¹ dx/√x = 2 сходится, а ∫₀¹ dx/x расходится. Для бесконечных пределов калькулятор делает замену переменной, переводящую промежуток в конечный.

Многие интегралы не выражаются в элементарных функциях: ∫ e^(−x²) dx, ∫ sin x / x dx, ∫ dx / ln x. Для них калькулятор даёт только численное значение определённого интеграла и, если получается, узнаёт точную константу: например, ∫ e^(−x²) dx от −∞ до ∞ = √π.

Двойной и тройной интеграл

Кратный интеграл по области сводится к повторным:

∬_D f(x, y) dx dy = ∫_a^b dx ∫_y1(x)^y₂(x) f(x, y) dy

Внутренний интеграл берётся по y при фиксированном x, его результат — функция от x, которую затем интегрируют по x. С функцией f = 1 двойной интеграл равен площади области, а тройной — объёму тела. Если функция — плотность, интеграл даёт массу.

Для круговых областей удобнее полярные координаты: x = r cos φ, y = r sin φ, а элемент площади dx dy = r dr dφ. Чтобы посчитать так, введите f(r cos φ, r sin φ)·r, используя x вместо r и y вместо φ, и пределы по r и φ.

Частые вопросы