Ряды Тейлора (Маклорена) и замечательные пределы
Справочник по рядам Тейлора и Маклорена: разложения экспоненты, синуса, косинуса, тангенса, логарифма, бинома, арктангенса и гиперболических функций с радиусами сходимости, первый и второй замечательные пределы, таблица эквивалентных бесконечно малых и формулы сумм рядов.
Ряд Тейлора представляет гладкую функцию в виде многочлена «бесконечной степени» вблизи точки a:
f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)2!(x − a)2 + … + f(n)(a)n!(x − a)n + …
При a = 0 ряд называют рядом Маклорена. Оборвав ряд на n-м члене, получают многочлен Тейлора — приближение функции с погрешностью порядка (x − a)ⁿ⁺¹. Так калькуляторы и компьютеры вычисляют синусы, экспоненты и логарифмы.
Разложения основных функций в ряд Маклорена
| Функция | Ряд | Сходится при |
|---|---|---|
| ex | 1 + x + x22! + x33! + … + xnn! + … | всех x |
| sin x | x − x33! + x55! − x77! + … | всех x |
| cos x | 1 − x22! + x44! − x66! + … | всех x |
| tg x | x + x33 + 2x515 + 17x7315 + … | |x| < π/2 |
| ln(1 + x) | x − x22 + x33 − x44 + … | −1 < x ≤ 1 |
| 11 − x | 1 + x + x2 + x3 + … | |x| < 1 |
| (1 + x)α | 1 + αx + α(α − 1)2!x2 + α(α − 1)(α − 2)3!x3 + … | |x| < 1 |
| √(1 + x) | 1 + x2 − x28 + x316 − … | |x| ≤ 1 |
| 1√(1 + x) | 1 − x2 + 3x28 − 5x316 + … | −1 < x ≤ 1 |
| arctg x | x − x33 + x55 − … | |x| ≤ 1 |
| arcsin x | x + x36 + 3x540 + … | |x| ≤ 1 |
| sh x | x + x33! + x55! + … | всех x |
| ch x | 1 + x22! + x44! + … | всех x |
Подставив x = 1 в ряд для арктангенса, получаем формулу Лейбница π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …, а x = 1 в ряд для логарифма даёт ln 2 = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … Оба ряда сходятся очень медленно и для вычислений не используются.
Замечательные пределы
| Предел | Значение |
|---|---|
| limx→0 sin xx | 1 — первый замечательный предел |
| limn→∞ (1 + 1/n)n = limx→0 (1 + x)1/x | e ≈ 2,71828 — второй замечательный предел |
| limx→0 ln(1 + x)x | 1 |
| limx→0 ex − 1x | 1 |
| limx→0 ax − 1x | ln a |
| limx→0 (1 + x)α − 1x | α |
| limx→0 1 − cos xx2 | 12 |
| limx→∞ (1 + k/x)x | ek |
| limx→+∞ xnex, limx→+∞ ln xxε | 0 — экспонента растёт быстрее любой степени, логарифм медленнее |
Эквивалентные бесконечно малые
При x → 0 в произведениях и частных можно заменять функции на эквивалентные — это главный способ быстро вычислять пределы вида 0/0:
| При x → 0 | Эквивалентно | Следующий член разложения |
|---|---|---|
| sin x, tg x, arcsin x, arctg x | x | −x3/6, +x3/3, +x3/6, −x3/3 |
| 1 − cos x | x2/2 | −x4/24 |
| ln(1 + x) | x | −x2/2 |
| ex − 1 | x | +x2/2 |
| ax − 1 | x ln a | |
| (1 + x)α − 1 | αx | +α(α − 1)x2/2 |
| sh x, th x | x |
Пример: lim (1 − cos 2x)/(x·sin x) = lim (2x²)/(x·x) = 2. Заменять можно только множители: в суммах эквивалентности дают неверный ответ, и тогда нужны следующие члены разложения. Например, (tg x − sin x)/x³ → 1/2, а замена обоих слагаемых на x дала бы 0.
Суммы конечных и бесконечных рядов
| Сумма | Значение |
|---|---|
| 1 + 2 + … + n | n(n + 1)2 |
| 12 + 22 + … + n2 | n(n + 1)(2n + 1)6 |
| 13 + 23 + … + n3 | (n(n + 1)2)2 |
| 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) | n2 |
| b + bq + … + bqn−1 | bqn − 1q − 1; при |q| < 1 и n → ∞: b1 − q |
| 1 + 1/22 + 1/32 + … | π2/6 ≈ 1,644934 |
| 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n | ≈ ln n + 0,5772 (ряд расходится; 0,5772… — постоянная Эйлера) |
| 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … | e |
| 1/(1·2) + 1/(2·3) + … + 1/(n(n + 1)) | nn + 1 → 1 |
Где это применяется
- Приближённые вычисления. √1,02 ≈ 1 + 0,02/2 = 1,01; e0,1 ≈ 1 + 0,1 + 0,005 = 1,105 (точнее 1,10517).
- Малые углы. В физике и инженерии при малых углах (в радианах) sin φ ≈ tg φ ≈ φ и cos φ ≈ 1 − φ²/2 — на этом основана теория малых колебаний маятника.
- Финансы. ln(1 + r) ≈ r объясняет «правило 70»: при доходности r % в год вложения удваиваются примерно за 70/r лет.
Комментарии и вопросы