Таблица производных
Таблица производных элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических и гиперболических. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции, формулы производных n-го порядка и формула Лейбница.
Производная показывает скорость изменения функции: f′(x) = lim (f(x + Δx) − f(x)) / Δx при Δx → 0. На практике производные почти никогда не считают по определению — достаточно таблицы производных основных функций и нескольких правил. Проверить себя можно в калькуляторе производных, который показывает решение по шагам.
Производные основных элементарных функций
| Функция | Производная | Примечание |
|---|---|---|
| C | 0 | постоянная |
| x | 1 | |
| xn | n·xn−1 | n — любое действительное число |
| √x | 12√x | x > 0 |
| 1x | −1x2 | x ≠ 0 |
| n√x | 1n n√xn−1 | |
| ex | ex | единственная функция (с точностью до множителя), равная своей производной |
| ax | ax ln a | a > 0, a ≠ 1 |
| ln x | 1x | x > 0; для ln|x| — при x ≠ 0 |
| loga x | 1x ln a | |
| lg x | 1x ln 10 ≈ 0,4343x | |
| sin x | cos x | x — в радианах |
| cos x | −sin x | |
| tg x | 1cos2 x = 1 + tg2 x | x ≠ π/2 + πk |
| ctg x | −1sin2 x = −(1 + ctg2 x) | x ≠ πk |
| sec x = 1/cos x | tg x · sec x | |
| arcsin x | 1√(1 − x2) | |x| < 1 |
| arccos x | −1√(1 − x2) | |x| < 1 |
| arctg x | 11 + x2 | |
| arcctg x | −11 + x2 | |
| sh x | ch x | sh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2 |
| ch x | sh x | ch x = (eˣ + e⁻ˣ)/2 |
| th x | 1ch2 x | |
| cth x | −1sh2 x | x ≠ 0 |
| arsh x | 1√(x2 + 1) | |
| arch x | 1√(x2 − 1) | x > 1 |
| |x| | sgn x | в нуле производной нет |
| xx | xx(ln x + 1) | через логарифмическую производную |
Правила дифференцирования
| Правило | Формула |
|---|---|
| Постоянный множитель | (C·u)′ = C·u′ |
| Сумма и разность | (u ± v)′ = u′ ± v′ |
| Произведение | (u·v)′ = u′v + uv′ |
| Частное | (u/v)′ = u′v − uv′v2 |
| Сложная функция (цепное правило) | (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x) |
| Обратная функция | x′y = 1y′x |
| Степенно-показательная функция | (uv)′ = uv(v′ ln u + vu′/u) |
| Параметрически заданная функция x = x(t), y = y(t) | y′x = y′tx′t |
| Неявная функция F(x, y) = 0 | y′ = −FxFy |
Пример цепного правила: (sin x²)′ = cos x² · 2x. Сначала дифференцируется «внешняя» функция (синус) по своему аргументу, затем результат умножается на производную «внутренней» функции x².
Производные высших порядков
Вторая производная — производная от первой: y″ = (y′)′. Для некоторых функций известна общая формула n-й производной:
| Функция | n-я производная |
|---|---|
| xm | m(m − 1)…(m − n + 1)·xm−n |
| eax | aneax |
| ax | ax(ln a)n |
| sin x | sin(x + nπ/2) |
| cos x | cos(x + nπ/2) |
| ln x | (−1)n−1(n − 1)!xn |
| 1x | (−1)nn!xn+1 |
| 1x + a | (−1)nn!(x + a)n+1 |
Формула Лейбница для n-й производной произведения: (uv)⁽ⁿ⁾ = Σ C(n, k)·u⁽ᵏ⁾·v⁽ⁿ⁻ᵏ⁾, k = 0…n, где C(n, k) — биномиальные коэффициенты. Например, (x²eˣ)‴ = x²eˣ + 3·2x·eˣ + 3·2·eˣ = (x² + 6x + 6)eˣ.
Частные производные
Для функции нескольких переменных f(x, y) частная производная ∂f/∂x вычисляется по тем же правилам, при этом y считается постоянной. Например, для f = x²y + sin y: ∂f/∂x = 2xy, ∂f/∂y = x² + cos y. Вектор из частных производных называется градиентом, а матрица вторых производных — матрицей Гессе. Для гладких функций смешанные производные не зависят от порядка: ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x.
Геометрический и физический смысл
- f′(x₀) — угловой коэффициент касательной к графику в точке x₀; уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
- Если координата точки меняется по закону s(t), то s′(t) — скорость, s″(t) — ускорение.
- В точке локального экстремума гладкой функции f′(x) = 0; при f″(x) > 0 это минимум, при f″(x) < 0 — максимум.
Комментарии и вопросы