Таблица преобразований Лапласа
Справочная таблица преобразований Лапласа: изображения единичной ступеньки, дельта-функции, степеней, экспоненты, синуса, косинуса, затухающих колебаний и других функций; свойства (линейность, дифференцирование, интегрирование, теоремы смещения и запаздывания, свёртка, предельные теоремы) и пример решения задачи Коши операционным методом.
Преобразование Лапласа переводит функцию времени f(t) (оригинал), заданную при t ≥ 0, в функцию комплексной переменной s (изображение):
F(s) = ∫0∞ f(t) e−st dt.
Главное его достоинство: дифференцирование оригинала превращается в умножение изображения на s. Поэтому линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами становится алгебраическим. Этим методом (операционным исчислением) пользуются в электротехнике, теории управления и при расчёте переходных процессов.
Таблица изображений
| Оригинал f(t), t ≥ 0 | Изображение F(s) |
|---|---|
| δ(t) — дельта-функция | 1 |
| 1 (единичная ступенька η(t)) | 1s |
| η(t − a) — ступенька в момент a | e−ass |
| t | 1s2 |
| tn | n!sn+1 |
| √t | √π2s3/2 |
| 1/√t | √(π/s) |
| eat | 1s − a |
| tneat | n!(s − a)n+1 |
| sin ωt | ωs2 + ω2 |
| cos ωt | ss2 + ω2 |
| sh ωt | ωs2 − ω2 |
| ch ωt | ss2 − ω2 |
| eat sin ωt | ω(s − a)2 + ω2 |
| eat cos ωt | s − a(s − a)2 + ω2 |
| t sin ωt | 2ωs(s2 + ω2)2 |
| t cos ωt | s2 − ω2(s2 + ω2)2 |
| 1 − e−t/τ (заряд конденсатора) | 1s(τs + 1) |
| eat − ebta − b | 1(s − a)(s − b) |
| sin tt | arctg 1s |
Свойства преобразования Лапласа
| Свойство | Оригинал | Изображение |
|---|---|---|
| Линейность | af(t) + bg(t) | aF(s) + bG(s) |
| Дифференцирование оригинала | f′(t) | sF(s) − f(0) |
| Вторая производная | f″(t) | s2F(s) − sf(0) − f′(0) |
| Интегрирование оригинала | ∫0t f(τ) dτ | F(s)s |
| Смещение изображения | eatf(t) | F(s − a) |
| Запаздывание | f(t − a)η(t − a) | e−asF(s) |
| Подобие | f(kt) | 1kF(s/k) |
| Умножение на t | tf(t) | −F′(s) |
| Свёртка | ∫0t f(τ)g(t − τ) dτ | F(s)·G(s) |
| Начальное значение | f(0+) | lims→∞ sF(s) |
| Конечное значение (если предел существует) | f(∞) | lims→0 sF(s) |
Пример: решение задачи Коши
Решим y″ + 3y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0. Переходим к изображениям: s²Y − s + 3(sY − 1) + 2Y = 0, откуда
Y(s) = s + 3(s + 1)(s + 2) = 2s + 1 − 1s + 2.
По таблице 1/(s − a) соответствует eᵃᵗ, поэтому y(t) = 2e⁻ᵗ − e⁻²ᵗ. Тот же ответ даёт калькулятор линейных ДУ через характеристическое уравнение.
Передаточные функции
В электротехнике отношение изображений выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях называют передаточной функцией W(s). Для RC-цепочки (вход — напряжение источника, выход — напряжение на конденсаторе) W(s) = 1/(RCs + 1). Подстановка s = jω даёт частотную характеристику, по которой строят АЧХ фильтра — её можно рассчитать в калькуляторе RC-фильтра.
Комментарии и вопросы