Таблица интегралов

Таблица неопределённых интегралов основных функций и полезных выражений с корнями, экспонентами и тригонометрическими функциями, правила интегрирования (замена переменной, по частям), универсальная тригонометрическая подстановка и таблица известных определённых и несобственных интегралов.

Рекламный блок «после калькулятора» (ads/after-calc.html)

Неопределённый интеграл ∫f(x)dx — это множество всех первообразных функции f, то есть функций F, для которых F′(x) = f(x). Все они отличаются на постоянную, поэтому к ответу дописывают «+ C». В таблице ниже постоянная опущена. Проверить любую строку можно дифференцированием, а вычислить свой интеграл с подробным решением — в калькуляторе интегралов.

Основные интегралы

Интеграл	Первообразная
∫ xⁿ dx, n ≠ −1	xⁿ⁺¹n + 1
∫ dxx	ln \|x\|
∫ e^x dx	e^x
∫ e^kx dx	e^kxk
∫ a^x dx	a^xln a
∫ sin x dx	−cos x
∫ cos x dx	sin x
∫ dxcos² x	tg x
∫ dxsin² x	−ctg x
∫ tg x dx	−ln \|cos x\|
∫ ctg x dx	ln \|sin x\|
∫ dxsin x	ln \|tg(x/2)\|
∫ dxcos x	ln \|tg(x/2 + π/4)\|
∫ dx1 + x²	arctg x
∫ dxa² + x²	1a arctg xa
∫ dxx² − a²	12a ln \|x − a\|\|x + a\|
∫ dx√(1 − x²)	arcsin x
∫ dx√(a² − x²)	arcsin xa
∫ dx√(x² ± a²)	ln \|x + √(x² ± a²)\|
∫ sh x dx	ch x
∫ ch x dx	sh x
∫ dxch² x	th x

Часто встречающиеся интегралы

Интеграл	Первообразная
∫ ln x dx	x ln x − x
∫ x e^x dx	(x − 1) e^x
∫ x ln x dx	x²2 ln x − x²4
∫ sin² x dx	x2 − sin 2x4
∫ cos² x dx	x2 + sin 2x4
∫ tg² x dx	tg x − x
∫ x sin x dx	sin x − x cos x
∫ x cos x dx	cos x + x sin x
∫ e^ax sin bx dx	e^ax(a sin bx − b cos bx)a² + b²
∫ e^ax cos bx dx	e^ax(a cos bx + b sin bx)a² + b²
∫ √(a² − x²) dx	x2√(a² − x²) + a²2 arcsin xa
∫ √(x² ± a²) dx	x2√(x² ± a²) ± a²2 ln \|x + √(x² ± a²)\|
∫ x dxx² + a²	12 ln(x² + a²)
∫ f′(x)f(x) dx	ln \|f(x)\|
∫ arctg x dx	x arctg x − 12 ln(1 + x²)
∫ arcsin x dx	x arcsin x + √(1 − x²)

Рекламный блок «внутри статьи» (ads/in-article.html)

Методы интегрирования

Линейность: ∫(a·f + b·g)dx = a∫f dx + b∫g dx.
Замена переменной: если x = φ(t), то ∫f(x)dx = ∫f(φ(t))·φ′(t)dt. Частный случай — линейная замена: ∫f(kx + b)dx = F(kx + b)/k. Например, ∫cos(3x)dx = sin(3x)/3.
По частям: ∫u dv = uv − ∫v du. За u обычно берут множитель, который упрощается при дифференцировании: многочлен в ∫x·eˣdx, логарифм или обратную тригонометрическую функцию в ∫x·ln x dx.
Рациональные функции P(x)/Q(x) раскладывают на простейшие дроби A/(x − a)ᵏ и (Bx + C)/(x² + px + q)ᵏ, каждая из которых интегрируется по таблице.
Универсальная тригонометрическая подстановка t = tg(x/2): sin x = 2t/(1 + t²), cos x = (1 − t²)/(1 + t²), dx = 2dt/(1 + t²). Сводит рациональную функцию от sin x и cos x к рациональной функции от t.

Не у каждой элементарной функции первообразная элементарна. Интегралы ∫e^−x²dx, ∫sin x / x dx, ∫dx / ln x, ∫√(1 − k² sin² x)dx через элементарные функции не выражаются. Для них вводят специальные функции (функцию ошибок, интегральный синус, интегральный логарифм, эллиптические интегралы), а определённые интегралы считают численно.

Известные определённые и несобственные интегралы

Интеграл	Значение
∫₀^∞ e^−x² dx	√π2 ≈ 0,886227
∫_−∞^∞ e^−ax² dx	√(π/a)
∫₀^∞ sin xx dx	π2
∫₀^∞ xⁿ e^−x dx	n! (в общем случае Γ(n + 1))
∫₀^∞ dx1 + x²	π2
∫₀¹ ln x dx	−1
∫₀^π sin x dx	2
∫₀^π sin² x dx = ∫₀^π cos² x dx	π2
∫₀^π/2 sinⁿ x dx	(n − 1)!!/n!! при нечётном n; (n − 1)!!/n!! · π/2 при чётном (формула Валлиса)
∫₀^∞ e^−ax cos bx dx	aa² + b²
∫₀^∞ x³e^x − 1 dx	π⁴15 (встречается в законе Стефана — Больцмана)
∫₀¹ x^a−1(1 − x)^b−1 dx	B(a, b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a + b) — бета-функция
∫_−π^π sin mx · sin nx dx	0 при m ≠ n, π при m = n — основа рядов Фурье

Формула Ньютона — Лейбница и свойства определённого интеграла

Если F — первообразная непрерывной функции f на [a, b], то ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). Полезные свойства: перестановка пределов меняет знак интеграла; интеграл по [a, b] равен сумме интегралов по [a, c] и [c, b]; интеграл от нечётной функции по симметричному отрезку [−a, a] равен нулю, от чётной — удвоенному интегралу по [0, a]. Среднее значение функции на отрезке равно (1/(b − a))·∫ₐᵇ f(x)dx.

Рекламный блок «внизу страницы» (ads/bottom.html)