Калькулятор производных с подробным решением
Найдите производную функции онлайн с подробным решением: правила дифференцирования по шагам, производные высших порядков, значение в точке и уравнение касательной, график функции и производной. Частные производные функции нескольких переменных, градиент, гессиан и полный дифференциал.
Производная функции одной переменной
Решение по шагам
Частные производные, градиент и гессиан
Первые частные производные
Вторые производные (матрица Гессе)
Что такое производная
Производная функции f(x) в точке x₀ — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента:
f′(x0) = limΔx→0 f(x0 + Δx) − f(x0)Δx
Геометрически это угловой коэффициент касательной к графику, физически — мгновенная скорость изменения величины. Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀).
Правила дифференцирования
| Правило | Формула |
|---|---|
| Постоянный множитель | (c·u)′ = c·u′ |
| Сумма и разность | (u ± v)′ = u′ ± v′ |
| Произведение | (uv)′ = u′v + uv′ |
| Частное | (u/v)′ = (u′v − uv′)/v2 |
| Сложная функция | (f(u))′ = f′(u)·u′ |
| Степенно-показательная функция | (uv)′ = uv·(v′ ln u + vu′/u) |
Производные основных элементарных функций собраны в таблице производных.
Как калькулятор находит производную
Выражение разбирается в дерево операций, и к каждому узлу применяется соответствующее правило: для суммы — сумма производных, для произведения — правило Лейбница, для функции от функции — цепное правило. Затем результат упрощается: приводятся подобные слагаемые, сокращаются степени, а дроби, если это короче, приводятся к общему знаменателю. Все вычисления выполняются точно, с обыкновенными дробями, а не с десятичными приближениями.
Пример
Найдём производную f(x) = x²·sin x. По правилу произведения: (x²)′·sin x + x²·(sin x)′ = 2x·sin x + x²·cos x. В точке x₀ = 1: f′(1) = 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2,2232, а касательная — y ≈ 0,8415 + 2,2232·(x − 1).
Частные производные и градиент
Для функции нескольких переменных частная производная по x считается так же, как обычная, а остальные переменные считаются постоянными. Вектор из всех первых частных производных — градиент ∇f — указывает направление наибольшего роста функции, а его длина равна скорости этого роста. Полный дифференциал: df = f′ₓ dx + f′ᵧ dy + …
Матрица вторых производных (гессиан) нужна для исследования экстремумов: если в точке градиент равен нулю, а гессиан положительно определён — это минимум, отрицательно определён — максимум, знаконеопределён — седловая точка. Для функции двух переменных достаточно знака определителя: при det H > 0 и f″ₓₓ > 0 — минимум, при det H > 0 и f″ₓₓ < 0 — максимум, при det H < 0 — седло.
Пример: f(x, y) = x²y + sin(xy). Тогда f′ₓ = 2xy + y·cos(xy), f′ᵧ = x² + x·cos(xy). В точке (1; 2): f′ₓ = 4 + 2 cos 2 ≈ 3,1677, f′ᵧ = 1 + cos 2 ≈ 0,5839.
Частые вопросы
Почему ответ выглядит иначе, чем в учебнике?
Одну и ту же функцию можно записать по-разному: например, cos x/sin x — это ctg x, а 1/cos²x — это 1 + tg²x. Чтобы проверить совпадение, сравните значения в нескольких точках — калькулятор показывает значение производной в точке x₀.
Как ввести логарифм по основанию?
ln x — натуральный логарифм, lg x — десятичный, log(a, x) — логарифм x по основанию a. Запись log(x) без основания калькулятор понимает как натуральный логарифм.
Что значит x^(1/3) и почему корень из отрицательного числа считается?
Корень нечётной степени из отрицательного числа определён: ∛(−8) = −2. Поэтому x^(1/3) и cbrt(x) вычисляются и при x < 0, а √x — только при x ≥ 0.
Комментарии и вопросы