Уравнение Эйлера — Лагранжа и экстремаль функционала
Найдите экстремаль функционала J[y] = ∫F(x, y, y′)dx онлайн: калькулятор выводит уравнение Эйлера — Лагранжа с подробными шагами, находит первые интегралы (в том числе формулу Бельтрами), проверяет условие Лежандра, строит экстремаль с заданными граничными условиями точно или численно методом стрельбы и сравнивает значение функционала с соседними кривыми. Поддерживаются функционалы от двух функций y(x) и z(x).
Решение
Что такое функционал и экстремаль
Функция сопоставляет числу число, а функционал — функции число. Классический пример — длина кривой y(x) между точками x = a и x = b:
J[y] = ∫ab √(1 + y′2) dx.
Вариационное исчисление ищет функции, на которых функционал принимает наименьшее или наибольшее значение среди всех гладких кривых с заданными концами y(a) = A, y(b) = B. Такие функции-кандидаты называются экстремалями.
Уравнение Эйлера — Лагранжа
Если y(x) — экстремаль функционала J[y] = ∫ F(x, y, y′) dx, то она удовлетворяет уравнению
Fy − ddx Fy′ = 0.
Здесь Fy и Fy′ — частные производные F по y и по y′ (y′ считается отдельной переменной), а d/dx — полная производная вдоль кривой: d/dx G = Gx + Gy·y′ + Gy′·y″. Получается обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, и две его постоянные находятся из условий на концах. Если неизвестных функций несколько, уравнение записывается для каждой: Fz − d/dx Fz′ = 0 и т. д.
Частные случаи и первые интегралы
| Вид F | Что даёт уравнение Эйлера |
|---|---|
| F не зависит от y: F(x, y′) | Fy′ = C1 — уравнение первого порядка |
| F не зависит от x: F(y, y′) | F − y′Fy′ = C1 (формула Бельтрами, аналог закона сохранения энергии) |
| F зависит только от y′ | экстремали — прямые линии y = C₁x + C₂ |
| F не зависит от y′: F(x, y) | Fy = 0 — не дифференциальное уравнение; гладкой экстремали с произвольными концами обычно нет |
| F линейна по y′: P(x, y) + Q(x, y)·y′ | Py = Qx — тоже не дифференциальное уравнение; если оно выполнено тождественно, интеграл не зависит от пути |
Классические задачи
- Кратчайшая линия на плоскости. F = √(1 + y′²) зависит только от y′, поэтому экстремали — прямые.
- Минимальная поверхность вращения. Площадь поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси x, пропорциональна ∫ y√(1 + y′²) dx. Формула Бельтрами даёт y/√(1 + y′²) = C₁, откуда y = C₁·ch((x − C₂)/C₁) — цепная линия, а поверхность — катеноид. При далёких друг от друга концах решения нет: мыльная плёнка между двумя кольцами рвётся.
- Брахистохрона — кривая наискорейшего спуска. Время спуска пропорционально ∫ √((1 + y′²)/y) dx (ось y направлена вниз), экстремали — циклоиды.
- Принцип наименьшего действия. Движение механической системы — экстремаль действия ∫ (T − U) dt, где T — кинетическая, U — потенциальная энергия. Для грузика на пружине F = y′² − y² (в безразмерных единицах), уравнение Эйлера — y″ + y = 0, т. е. гармонические колебания.
Минимум или максимум: условие Лежандра
Уравнение Эйлера — только необходимое условие: экстремаль может давать минимум, максимум или ни то, ни другое. Для минимума необходимо условие Лежандра Fy′y′ ≥ 0 вдоль экстремали (для максимума — ≤ 0). Строгое неравенство вместе с условием Якоби (отсутствием сопряжённых точек на отрезке) гарантирует слабый минимум.
Калькулятор проверяет условие Лежандра на найденной экстремали и дополнительно сравнивает значение функционала с соседними кривыми y + ε·η(x), где η(x) = sin(π(x − a)/(b − a)) обращается в ноль на концах. Если обе соседние кривые дают большее значение, экстремаль похожа на минимум.
Как калькулятор строит экстремаль
Сначала уравнение Эйлера приводится к виду y″ = R(x, y, y′). Если это линейное уравнение с постоянными коэффициентами, решение находится точно — так же, как в калькуляторе линейных ДУ, и постоянные подбираются по граничным условиям. Иначе краевая задача решается методом стрельбы: неизвестный наклон y′(a) подбирается методом Ньютона так, чтобы решение задачи Коши (метод Дормана — Принса с адаптивным шагом) попало в точку y(b). У нелинейных задач может быть несколько экстремалей — тогда калькулятор показывает ту, на которой функционал меньше, и сообщает об остальных.
Частые вопросы
Почему калькулятор пишет, что решение не найдено?
У краевой задачи для уравнения Эйлера может не быть решения (как у минимальной поверхности вращения при далёких концах), либо решение уходит в область, где F не определена (например, корень из отрицательного числа). Попробуйте изменить граничные значения или отрезок.
Можно ли решать задачи с производными второго порядка, F(x, y, y′, y″)?
Нет, здесь поддерживаются функционалы с первыми производными. Для F с y″ уравнение Эйлера — Пуассона имеет четвёртый порядок: Fy − (Fy′)′ + (Fy″)″ = 0.
Что такое изопериметрическая задача?
Это поиск экстремума функционала при условии, что другой функционал принимает заданное значение (например, наибольшая площадь при заданной длине кривой). Она сводится к обычной задаче для F + λG, где λ — множитель Лагранжа. Подставьте F + λG с конкретным числом λ, чтобы увидеть семейство экстремалей.
Комментарии и вопросы