Калькулятор описательной статистики

Что показывает описательная статистика

Описательная статистика сжимает ряд чисел до нескольких показателей, по которым видно главное: где находится «центр» данных, насколько они разбросаны и какую форму имеет распределение. С неё начинается обработка любых данных — результатов эксперимента, оценок, замеров, цен.

Меры центра

• Среднее арифметическое x̄ = Σxᵢ / n — чувствительно к выбросам.
• Медиана — значение посередине упорядоченного ряда (при чётном n — среднее двух центральных). Устойчива к выбросам: если в ряду зарплат есть одна очень большая, медиана почти не изменится.
• Мода — значение, которое встречается чаще всего. Мод может быть несколько или не быть вовсе.
• Среднее геометрическое (для положительных чисел) — подходит для темпов роста и отношений; среднее гармоническое — для средних скоростей и цен.

Меры разброса

• Размах = max − min.
• Дисперсия s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) и стандартное отклонение s = √s².
• Коэффициент вариации CV = s / x̄ · 100%. Ориентир: до 10% — разброс слабый, 10–33% — умеренный, больше 33% — сильный, данные неоднородны.
• Квартили Q1 и Q3 делят упорядоченный ряд на четверти, межквартильный размах IQR = Q3 − Q1 охватывает средние 50% значений.

Форма распределения

• Асимметрия больше нуля — длинный «хвост» справа (несколько больших значений), меньше нуля — слева. Для симметричного распределения около 0.
• Эксцесс (избыточный) показывает островершинность: у нормального распределения он равен 0, положительный эксцесс — острый пик и тяжёлые хвосты, отрицательный — плоская вершина.

Пример

Оценки 12 студентов: 72, 85, 90, 66, 78, 85, 94, 70, 88, 81, 79, 85. Среднее — 81,08, медиана — 83, мода — 85 (встречается трижды). Стандартное отклонение s ≈ 8,46, коэффициент вариации ≈ 10,4% — разброс умеренный. Квартили Q1 = 76,5 и Q3 = 85,75. Асимметрия ≈ −0,40: немного вытянут левый хвост (несколько низких оценок). 95%-й доверительный интервал среднего — от 75,71 до 86,46.

Как считаются квартили и выбросы

Квартили вычисляются линейной интерполяцией между соседними значениями упорядоченного ряда — тем же способом, что и функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ в Excel. В других программах встречаются иные способы, поэтому на малых выборках квартили могут немного отличаться.

Значения за пределами Q1 − 1,5·IQR и Q3 + 1,5·IQR калькулятор отмечает как возможные выбросы (правило Тьюки, по нему же строится «ящик с усами»). Для формальной проверки подозрительного значения в результатах измерений используйте критерий Граббса.

Асимметрия и эксцесс: формулы

Используются несмещённые выборочные оценки — те же, что в функциях СКОС и ЭКСЦЕСС в Excel:

A = n / ((n − 1)(n − 2)) · Σ((xᵢ − x̄) / s)³

E = n(n + 1) / ((n − 1)(n − 2)(n − 3)) · Σ((xᵢ − x̄) / s)⁴ − 3(n − 1)² / ((n − 2)(n − 3))

Частые вопросы