Калькулятор t-критерия Стьюдента для двух выборок

Зачем нужен t-критерий

Средние двух групп почти никогда не совпадают точно — даже если обе группы взяты из одной совокупности, случайный разброс даёт какую-то разницу. t-критерий Стьюдента отвечает на вопрос: можно ли объяснить наблюдаемую разницу случайностью, или она, скорее всего, отражает реальное различие. Им сравнивают урожайность на опытных и контрольных делянках, результаты двух методик измерения, показатели пациентов до и после лечения.

Как читать результат

Проверяется нулевая гипотеза «средние равны». p-значение — вероятность получить разницу не меньше наблюдаемой, если нулевая гипотеза верна. Если p меньше выбранного уровня значимости α (обычно 0,05), разницу называют статистически значимой. Эквивалентная проверка — сравнить |t| с критическим значением: если |t| больше, различие значимо.

Значимость не говорит о величине эффекта: при огромных выборках значимой окажется и ничтожная разница. Поэтому калькулятор показывает доверительный интервал разности и размер эффекта d Коэна — разность средних, делённую на объединённое стандартное отклонение. Ориентиры: около 0,2 — малый эффект, 0,5 — средний, 0,8 и больше — большой.

Какой вариант критерия выбрать

• Критерий Уэлча — для двух независимых групп, когда нет уверенности в равенстве дисперсий. Число степеней свободы считается по формуле Уэлча–Саттертуэйта и бывает дробным. Это разумный выбор по умолчанию.
• Классический критерий — для независимых групп с примерно одинаковым разбросом: дисперсии объединяются, df = n₁ + n₂ − 2.
• Парный критерий — когда каждому значению первой группы соответствует значение второй: один и тот же образец измерен двумя приборами, один и тот же человек до и после. Считаются разности пар, и проверяется, равна ли нулю их средняя. Порядок значений в двух полях должен совпадать.

Уэлч: t = (x̄₁ − x̄₂) / √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)

Классический: t = (x̄₁ − x̄₂) / (s · √(1/n₁ + 1/n₂)), s² = ((n₁−1)s₁² + (n₂−1)s₂²) / (n₁ + n₂ − 2)

Парный: t = d̄ / (s_d / √n)

Пример

Урожайность (кг с делянки) на семи делянках с удобрением: 5,1; 4,9; 5,6; 5,8; 6,0; 5,4; 5,7 — среднее 5,5, s = 0,392. На семи контрольных: 4,6; 4,8; 5,0; 4,4; 5,2; 4,7; 4,9 — среднее 4,8, s = 0,265. Разность средних 0,7 кг. Критерий Уэлча даёт t ≈ 3,92 при df ≈ 10,5 и p ≈ 0,0026, классический — тот же t при df = 12 и p ≈ 0,0020 (критическое значение 2,179). Обе проверки показывают значимое различие при α = 0,05, а d Коэна ≈ 2,1 говорит об очень большом эффекте.

Условия применимости

Критерий предполагает, что значения в группах независимы и распределены примерно нормально. При выборках от 15–20 значений в группе он устойчив к умеренным отклонениям от нормальности. На малых выборках проверьте данные на грубые промахи — один выброс сильно меняет и среднее, и стандартное отклонение.

Частые вопросы