Таблица стандартного нормального распределения

Таблица функции стандартного нормального распределения Φ(z) для z от 0,00 до 3,99 с шагом 0,01, переход к функции Лапласа Φ₀(z), таблица квантилей для типичных вероятностей и вероятности попадания в интервалы ±σ, ±2σ, ±3σ и шире с примерами расчётов.

Рекламный блок «после калькулятора» (ads/after-calc.html)

Нормальное (гауссово) распределение с математическим ожиданием μ и стандартным отклонением σ описывает случайные ошибки измерений, разброс размеров деталей, рост людей и многие другие величины, складывающиеся из множества мелких независимых факторов. Любую нормальную величину X приводят к стандартной: z = (x − μ)/σ, у которой μ = 0 и σ = 1.

Функция распределения Φ(z)

Φ(z) = P(Z < z) — вероятность того, что стандартная нормальная величина меньше z. Строка — целая часть и десятые доли z, столбец — сотые. Например, Φ(1,96): строка 1,9, столбец 0,06 — 0,9750.

z	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
3,1	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
3,2	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995
3,3	0,9995	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997
3,4	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998
3,5	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998
3,6	0,9998	0,9998	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
3,7	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
3,8	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
3,9	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000

Для отрицательных z: Φ(−z) = 1 − Φ(z). При z ≥ 4 значение Φ(z) отличается от 1 меньше чем на 0,00004.

Функция Лапласа

В российских учебниках часто используется функция Лапласа Φ₀(z) = Φ(z) − 0,5 — вероятность попасть в интервал от 0 до z. Она нечётна: Φ₀(−z) = −Φ₀(z). Вероятность попадания нормальной величины в интервал (a, b):

P(a < X < b) = Φ(b − μσ) − Φ(a − μσ) = Φ₀(b − μσ) − Φ₀(a − μσ).

Пример

Диаметр вала распределён нормально с μ = 20,00 мм и σ = 0,02 мм; допуск 20,00 ± 0,03 мм. Границы в стандартных единицах: z = ±0,03/0,02 = ±1,5. Доля годных деталей Φ(1,5) − Φ(−1,5) = 2·0,9332 − 1 = 0,8664, то есть около 13,4 % деталей выйдут за допуск.

Рекламный блок «внутри статьи» (ads/in-article.html)

Квантили нормального распределения

Квантиль z_P — такое значение, что Φ(z_P) = P. Используется для доверительных интервалов и критических значений при известной дисперсии.

P (Φ(z) = P)	Квантиль z_P	Двусторонняя вероятность P(\|Z\| < z)
0,5	0,0000	0
0,6	0,2533	0,2
0,7	0,5244	0,4
0,75	0,6745	0,5
0,8	0,8416	0,6
0,85	1,0364	0,7
0,9	1,2816	0,8
0,95	1,6449	0,9
0,975	1,9600	0,95
0,98	2,0537	0,96
0,99	2,3263	0,98
0,995	2,5758	0,99
0,999	3,0902	0,998
0,9995	3,2905	0,999

Правило трёх сигм

Вероятности попадания в симметричный интервал μ ± kσ:

k (± kσ)	Внутри интервала	Вне интервала	Выход за пределы
0,5	38,29249 %	61,7 %	1 из 2
1	68,26895 %	31,7 %	1 из 3
1,5	86,63856 %	13,4 %	1 из 7
1,96	95,00042 %	5,00 %	1 из 20
2	95,44997 %	4,55 %	1 из 22
2,576	99,00049 %	1,000 %	1 из 100
3	99,73002 %	0,270 %	1 из 370
4	99,99367 %	0,00633 %	1 из 15 787
5	99,99994 %	0,0000573 %	1 из 1 744 278
6	100,00000 %	0,000000197 %	1 из 506 797 317

Почти все значения (99,73 %) лежат в пределах трёх стандартных отклонений от среднего — на этом основан простой способ отсеивать грубые ошибки. Более строгий подход для малых выборок — критерий Граббса. В управлении качеством методика «шесть сигм» означает, что ближайшая граница допуска отстоит от среднего на 6σ.

Рекламный блок «внизу страницы» (ads/bottom.html)