Калькулятор среднеквадратичного отклонения и доверительного интервала по Стьюденту

Как обработать результаты измерений

При многократных измерениях одной величины результаты немного отличаются из-за случайных факторов. Задача обработки — найти наиболее вероятное значение величины и оценить, в каких пределах находится истинное значение с заданной вероятностью. Последовательность расчёта:

1. Среднее арифметическое: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n.
2. Отклонения от среднего xᵢ − x̄ и их квадраты.
3. Среднеквадратичное отклонение выборки: s = √( Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ).
4. СКО среднего (стандартная ошибка): s_x̄ = s / √n.
5. Коэффициент Стьюдента t для доверительной вероятности P и n − 1 степеней свободы (таблица ниже).
6. Случайная погрешность: Δx = t · s / √n, относительная погрешность: ε = Δx / x̄ · 100%.
7. Запись результата: x = x̄ ± Δx (P = …).

Пример

Длину детали измерили 5 раз: 12,1; 12,4; 11,9; 12,3; 12,2 мм. Среднее — 12,18 мм, СКО выборки s = 0,192 мм, стандартная ошибка — 0,086 мм. Для P = 0,95 и 4 степеней свободы t = 2,776, поэтому Δx = 2,776 × 0,086 = 0,239 мм. Результат: x = 12,18 ± 0,24 мм (P = 0,95), относительная погрешность — около 2,0%.

Правила округления результата

Погрешность округляют до одной значащей цифры, а если первая значащая цифра 1 или 2 — до двух. Среднее значение округляют до того же разряда, что и погрешность. Калькулятор делает это автоматически в строке «Результат».

Чем отличаются s и σ

При делении на n получается СКО генеральной совокупности σ — его используют, когда в данных есть все возможные значения. Если данные — выборка из большего множества (как при измерениях), делят на n − 1 (поправка Бесселя): так оценка не занижает разброс. Для обработки измерений нужно s.

Таблица коэффициентов Стьюдента

Значения рассчитаны для двусторонней доверительной вероятности P. Число степеней свободы f = n − 1, где n — количество измерений. Калькулятор вычисляет коэффициент для любого f, а не только для значений из таблицы.

Частые вопросы