Таблица распределения Стьюдента

Таблица критических значений t-распределения Стьюдента для двустороннего критерия при уровнях значимости 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01; 0,002; 0,001 и числе степеней свободы от 1 до 500, а также таблица коэффициентов Стьюдента для доверительного интервала по числу измерений n и доверительной вероятности P. С примерами использования.

Рекламный блок «после калькулятора» (ads/after-calc.html)

Распределение Стьюдента (t-распределение) описывает отношение отклонения выборочного среднего от истинного к его стандартной ошибке, когда дисперсия неизвестна и оценивается по той же выборке. Оно похоже на нормальное, но с более «тяжёлыми хвостами», и тем ближе к нормальному, чем больше степеней свободы k. Значения в таблицах вычислены по точной функции распределения; те же расчёты выполняют калькуляторы СКО и коэффициента Стьюдента и t-критерия.

Коэффициенты Стьюдента для доверительного интервала

Удобная форма для обработки результатов измерений: по числу измерений n и доверительной вероятности P находится коэффициент t, и доверительный интервал среднего записывается как x̄ ± t·s/√n, где s — выборочное СКО.

n \ P	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
2	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657	636,619
3	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	31,599
4	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	12,924
5	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	8,610
6	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	6,869
7	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	5,959
8	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	5,408
9	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	5,041
10	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	4,781
11	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	4,587
12	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	4,437
13	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	4,318
14	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	4,221
15	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	4,140
16	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	4,073
17	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	4,015
18	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,965
19	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,922
20	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,883
25	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,745
30	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,659
40	1,304	1,685	2,023	2,426	2,708	3,558
50	1,299	1,677	2,010	2,405	2,680	3,500
100	1,290	1,660	1,984	2,365	2,626	3,392

Пример

Проведено 10 измерений длины, среднее x̄ = 25,34 мм, выборочное СКО s = 0,12 мм. Для P = 0,95 и n = 10 по таблице t = 2,262. Стандартная ошибка среднего s/√n = 0,12/3,162 = 0,038 мм, полуширина интервала 2,262·0,038 = 0,086 мм. Результат: 25,34 ± 0,09 мм с вероятностью 95 %.

Рекламный блок «внутри статьи» (ads/in-article.html)

Критические значения t для двустороннего критерия

Строка — число степеней свободы k, столбец — уровень значимости α. Табличное значение t_кр таково, что P(|T| > t_кр) = α. Для одностороннего критерия берите столбец с удвоенным α: например, односторонний критерий при α = 0,05 — столбец 0,1.

k \ α	0,2	0,1	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
1	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657	318,309	636,619
2	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	22,327	31,599
3	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	10,215	12,924
4	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	7,173	8,610
5	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	5,893	6,869
6	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	5,208	5,959
7	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	4,785	5,408
8	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	4,501	5,041
9	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	4,297	4,781
10	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	4,144	4,587
11	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	4,025	4,437
12	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	3,930	4,318
13	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	3,852	4,221
14	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	3,787	4,140
15	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	3,733	4,073
16	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	3,686	4,015
17	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,646	3,965
18	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,610	3,922
19	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,579	3,883
20	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,552	3,850
21	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,527	3,819
22	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,505	3,792
23	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,485	3,768
24	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,467	3,745
25	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,450	3,725
26	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,435	3,707
27	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,421	3,690
28	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,408	3,674
29	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,396	3,659
30	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,385	3,646
40	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704	3,307	3,551
50	1,299	1,676	2,009	2,403	2,678	3,261	3,496
60	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660	3,232	3,460
80	1,292	1,664	1,990	2,374	2,639	3,195	3,416
100	1,290	1,660	1,984	2,364	2,626	3,174	3,390
120	1,289	1,658	1,980	2,358	2,617	3,160	3,373
200	1,286	1,653	1,972	2,345	2,601	3,131	3,340
500	1,283	1,648	1,965	2,334	2,586	3,107	3,310
∞	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	3,090	3,291

Как определить число степеней свободы

Задача	Степени свободы k
Доверительный интервал среднего, сравнение среднего с заданным значением	n − 1
Сравнение средних двух независимых выборок (равные дисперсии)	n₁ + n₂ − 2
Сравнение средних при неравных дисперсиях (критерий Уэлча)	по формуле Уэлча — Саттертуэйта, обычно дробное
Парный критерий (до и после)	число пар − 1
Значимость коэффициента линейной регрессии или корреляции	n − 2

Частые вопросы

Чем коэффициент Стьюдента отличается от 1,96?

1,96 — квантиль нормального распределения для P = 0,95 (строка «∞» в таблице). Его можно использовать, когда дисперсия известна точно или выборка очень большая. При малых n дисперсия оценивается неточно, и интервал приходится расширять: при n = 5 коэффициент равен 2,776, при n = 3 — уже 4,303.

Что делать, если нужного числа степеней свободы нет в таблице?

Между строками можно интерполировать линейно по величине 1/k — это точнее, чем по самому k. Для k > 120 разница с нормальным распределением меньше 1 %.

Рекламный блок «внизу страницы» (ads/bottom.html)