Математические константы
Таблица математических констант с 30 значащими цифрами: число π, число e, золотое сечение, квадратные корни из 2, 3 и 5, натуральные логарифмы 2 и 10, постоянные Эйлера — Маскерони, Каталана и Апери. Кратко о смысле каждой константы и о том, сколько знаков нужно на практике.
Значения в таблице вычислены с запасом точности и округлены до 30 значащих цифр. Большинство этих чисел иррациональны (не представимы обыкновенной дробью), а π и e к тому же трансцендентны — не являются корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами.
| Константа | Значение (30 значащих цифр) | Смысл |
|---|---|---|
| π | 3,14159265358979323846264338328 | отношение длины окружности к диаметру |
| 2π | 6,28318530717958647692528676656 | полный угол в радианах |
| π/180 | 0,0174532925199432957692369076849 | один градус в радианах |
| 180/π | 57,2957795130823208767981548141 | один радиан в градусах |
| e | 2,71828182845904523536028747135 | основание натурального логарифма |
| φ | 1,61803398874989484820458683437 | золотое сечение (1 + √5)/2 |
| √2 | 1,41421356237309504880168872421 | диагональ единичного квадрата |
| √3 | 1,73205080756887729352744634151 | высота равностороннего треугольника со стороной 2 |
| √5 | 2,23606797749978969640917366873 | |
| ln 2 | 0,693147180559945309417232121458 | натуральный логарифм двух |
| ln 10 | 2,30258509299404568401799145468 | множитель перехода от lg к ln |
| lg e | 0,434294481903251827651128918917 | множитель перехода от ln к lg |
| γ | 0,577215664901532860606512090082 | постоянная Эйлера — Маскерони |
| G | 0,915965594177219015054603514932 | постоянная Каталана |
| ζ(3) | 1,20205690315959428539973816151 | постоянная Апери |
| π²/6 | 1,64493406684822643647241516665 | сумма ряда 1 + 1/4 + 1/9 + … |
| eπ | 23,1406926327792690057290863679 | постоянная Гельфонда |
| √(2π) | 2,50662827463100050241576528481 | из формулы Стирлинга и нормального распределения |
Самые важные константы
- π — отношение длины окружности к её диаметру. Площадь круга S = πr², длина окружности L = 2πr. Старые приближения: 22/7 ≈ 3,1429 (ошибка 0,04 %) и 355/113 ≈ 3,14159292 (ошибка меньше 10⁻⁷).
- e — основание натурального логарифма, предел (1 + 1/n)ⁿ. Возникает везде, где скорость роста пропорциональна самой величине: непрерывное начисление процентов, радиоактивный распад, разряд конденсатора. Вклад под 100 % годовых при непрерывной капитализации вырастает за год в e ≈ 2,718 раза.
- φ — золотое сечение (1 + √5)/2 ≈ 1,618. Отношение соседних чисел Фибоначчи стремится к φ; φ² = φ + 1, 1/φ = φ − 1.
- √2 — диагональ квадрата со стороной 1 и отношение сторон листа бумаги формата A (A4: 297/210 ≈ 1,414). Иррациональность √2 была известна ещё в Древней Греции.
- γ — постоянная Эйлера — Маскерони: разность 1 + 1/2 + … + 1/n − ln n при n → ∞. Неизвестно даже, рациональна ли она.
Сколько знаков нужно на практике
Для инженерных расчётов достаточно 4–6 значащих цифр (π ≈ 3,1416), для точных физических — 10–15 (столько хранит обычное число двойной точности в компьютере). Пятнадцати знаков π хватает, чтобы вычислить длину окружности размером с орбиту Нептуна с ошибкой порядка сантиметра. Миллиарды знаков, вычисленные за последние десятилетия, нужны лишь для проверки компьютеров и алгоритмов.
Полезные соотношения
- Формула Эйлера: eiπ + 1 = 0 — связывает e, π, мнимую единицу, 1 и 0.
- Переход между логарифмами: ln x = lg x · ln 10 ≈ 2,302585·lg x; lg x = ln x · lg e ≈ 0,434294·ln x.
- Градусы и радианы: 1° = π/180 ≈ 0,0174533 рад; 1 рад = 180/π ≈ 57,2958°.
- Формула Стирлинга: n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ — уже при n = 10 ошибка меньше 1 %.
Комментарии и вопросы