Таблица квадратов, кубов и корней

Таблица квадратов двузначных чисел

Строка — число десятков, столбец — единиц. Например, 47² находится на пересечении строки 4 и столбца 7: 2209.

Приёмы возведения в квадрат в уме

• Числа, оканчивающиеся на 5. Число десятков умножают на следующее за ним и приписывают 25: 65² = 6·7 = 42 → 4225; 115² = 11·12 = 132 → 13225.
• Формула квадрата суммы. (a ± b)² = a² ± 2ab + b²: 52² = 2500 + 2·50·2 + 4 = 2704; 98² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
• Числа от 40 до 60. 50 ± k: (50 ± k)² = 2500 ± 100k + k². 47² = 2500 − 300 + 9 = 2209.
• Разность квадратов a² − b² = (a − b)(a + b) помогает перемножать близкие числа: 48·52 = 50² − 2² = 2496.
• Последняя цифра квадрата может быть только 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Если число оканчивается на 2, 3, 7 или 8, оно точно не квадрат.

Квадраты, кубы и корни чисел от 1 до 100

Пифагоровы тройки

Тройки натуральных чисел a² + b² = c² задают прямоугольные треугольники с целыми сторонами. Все примитивные тройки (без общего делителя) получаются по формулам a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² при m > n, разной чётности и взаимно простых m и n.

Умножая примитивную тройку на любое число, получаем новые: 6, 8, 10 или 9, 12, 15. Тройка 3, 4, 5 издавна используется строителями для разметки прямого угла: если стороны 3 м и 4 м, а диагональ ровно 5 м, угол прямой. Проверить любой треугольник можно в калькуляторе теоремы Пифагора.